活页作业 平面向量的数量积一、选择题1．(理)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4 B．3 C．2 D．0解析：∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c.∴a·c＝0，b·c＝0.c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.答案：D1．(文)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )A．－12B．－6 C．6D．123．(2022·吉安模拟)已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝m＋n，＝m－3n，D为BC边的中点，则||＝( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由题意知＝(＋)＝m－n，6\n∴2＝(m－n)2＝m2＋n2－2m·n＝3＋4－2××2×cos＝1.∴||＝1.答案：A4．在△ABC中，A·B＝3，△ABC的面积S∈，则A与B夹角的取值范围是( )A. B．C. D．5．(2022·昆明模拟)设R为实数集，平面向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，f(x)＝a·b.若∃n∈R，∀x∈R，f(x)≥f(n)，则f(n)等于( )A．－2 B．－ C．1－ D．1＋解析：f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1，所以f(x)最小值＝1－，由题知，f(n)是f(x)在R上的最小值，故f(n)＝1－.答案：C6．(理)(2022·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )A. B． 6\nC. D．解析：由题意得∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又∵·＝－，且||＝||＝2，〈，〉＝60°，·＝||·||cos60°＝2，∴[(1－λ)－](λ－)＝－，λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.答案：A6．(文)(2022·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝( )A. B． C. D．2解析：由题意可得＝＋＝－＋(1－λ)，＝＋＝－＋λ，由·＝－2，且·＝0得·＝[－＋(1－λ)]·(－＋λ)＝(λ－1)2－λ2＝－2.又AB＝1，AC＝2，6\n∴4(λ－1)－λ＝－2，解得λ＝.答案：B二、填空题7．(原创题)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则＝________.解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝－6，∴cosθ＝－1，∴θ＝180°.即a，b共线且反向，∴a＝－b，x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－.答案：－8．(理)(2022·安徽高考)若平面向量a，b满足：|2a－b|≤3；则a·b的最小值是________．解析：|2a－b|≤3⇔4a2＋b2≤9＋4a·b4a2＋b2≥4|a||b|≥－4a·b⇒9＋4a·b≥－4a·b⇔a·b≥－.答案：－8．(文)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.解析：a＋c＝(3,3m)，(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－.∴|a|＝.答案：三、解答题9．(2022·合肥模拟)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得，∴或，6\n∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－.∴cosθ＝＝＝－1.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.10．(理)已知点P(2cosα，2sinα)和Q(a,0)，O为坐标原点．当α∈(0，π)时．(1)若存在点P，使得OP⊥PQ，求实数a的取值范围；(2)如果a＝－1，求向量与的夹角θ的最大值．方法二：(余弦定理法)如图，|OQ|＝1，|OP|＝2，6\n设|PQ|＝t，则cosθ＝＝≥×2＝，又∵cosθ在θ∈上是减函数，∴θmax＝，此时PQ⊥OQ，cosα＝－，α＝π∈(0，π)．10．(文)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0＜θ＜π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．6
