算法初步与复数L1 算法与程序框图 图1－15．L1[2022·新课标全国卷Ⅰ]执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )A．[－3，4]B．[－5，2]C．[－4，3]D．[－2，5]5．A [解析]由框图可知，当t∈[－1，1)时，s＝3t，故此时s∈[－3，3)；当t∈[1，3]时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，故此时s∈[3，4]，综上，s∈[－3，4]．5．L1、L2[2022·安徽卷]某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5．C [解析]分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C中的结论正确，选项D中的结论不正确．2．L1[2022·安徽卷]如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )-15-\n图1－1A.B.C.D.2．D [解析]依次运算的结果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此时输出s，故输出结果是＋＋＝.4．L1[2022·北京卷]执行如图1－1所示的程序框图，输出的S的值为( )图1－1A．1B.C.D.4．C [解析]执行第一次循环时S＝＝，i＝1；第二次循环S＝＝，i＝2，此时退出循环，故选C.6．L1[2022·福建卷]阅读如图1－2所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是( )-15-\n图1－2A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和6．A [解析]S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝1＋2，i＝3→S＝1＋2＋22，i＝4→…→S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11>10，故选A.17．L1[2022·广东卷]某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图1－4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值：(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 179201530图1－417．解：18．L1[2022·广东卷]如图1－5(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图1－5(2)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．-15-\n图1－518．解：19．L1[2022·广东卷]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.19．解：20．L1[2022·广东卷]已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．20．解：21．L1[2022·广东卷]设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.21．解：16．L1[2022·广东卷]已知函数f(x)＝cos，x∈R.-15-\n(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.16．解：11．L1[2022·广东卷]执行如图1－2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．图1－211．7 [解析]1≤4，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤4，s＝1＋1＝2，i＝3；3≤4，s＝2＋2＝4，i＝4；4≤4，s＝4＋3＝7，i＝5；5>4，故输出s＝7.12．L1[2022·湖北卷]阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.图1－412．5 [解析]逐次运算结果是a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5，满足条件，输出i＝5.13．L1[2022·湖南卷]执行如图1－3所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．-15-\n图1－313．9 [解析]根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2，①a＝3，②a＝5，③a＝7，④a＝9，满足条件输出a＝9.5．L1[2022·江苏卷]如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．图1－15．3 [解析]逐一代入可得n123a2826a<20YYN当a＝26>20时，n＝3，故最后输出3.7．L1[2022·江西卷]阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )图1－1A．S＝2*i－2B．S＝2*i－1C．S＝2*iD．S＝2*i＋47．C [解析]依次检验可知选C.13．L1[2022·山东卷]-15-\n图1－3执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．13．3 [解析]第一次执行循环体时，F1＝3，F0＝2，n＝1＋1＝2，＝>0.25；第二次执行循环体时，F1＝2＋3＝5，F0＝3，n＝2＋1＝3，＝<0.25，满足条件，输出n＝3.18．L1，K6[2022·四川卷]某算法的程序框图如图1－6所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图1－6(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值-15-\n为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝，所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.-15-\nP(ξ＝0)＝C××＝，P(ξ＝1)＝C××＝，P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝C××＝，故ξ的分布列为ξ0123P所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.即ξ的数学期望为1.3．L1[2022·天津卷]阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为( )图1－1A．64B．73C．512D．5853．B [解析]当x＝1时，S＝0＋1＝1；当x＝2时，S＝1＋23＝9；当x＝4时，S＝9＋43＝73满足题意输出．-15-\n图1－16．L1[2022·新课标全国卷Ⅱ]执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )A．1＋＋＋…＋B．1＋＋＋…＋C．1＋＋＋…＋D．1＋＋＋…＋6．B [解析]k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝，S＝1＋；k＝3，T＝，S＝1＋＋；k＝4，T＝，S＝1＋＋＋，…，10>10不成立，继续循环．答案为B.5．L1[2022·浙江卷]某程序框图如图1－1所示，若该程序运行后输出的值是，则( )图1－1A．a＝4B．a＝5C．a＝6D．a＝75．A [解析]S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝1＋1－＝2－＝，故k＝4，k＝k＋1＝5，满足k>a时，即5>a时，输出S，所以a＝4，选择A.8．L1，L2[2022·重庆卷]执行如图1－4所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )-15-\n图1－4A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤98．B [解析]第一次输入得s＝log23，k＝3；第二次得s＝log23·log34＝2，k＝4；第三次得s＝2log45，k＝5；第四次得s＝2log45·log56＝2log46，k＝6；第五次得s＝2log46·log67＝2log47，k＝7；第六次得s＝2log47·log78＝2log48＝2log44＝3，k＝8，输出，故选B.L2 基本算法语句 5．L1、L2[2022·安徽卷]某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5．C [解析]分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C中的结论正确，选项D中的结论不正确．2．L2[2022·陕西卷]根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )输入x；Ifx≤50 Theny＝0.5*xElsey＝25＋0.6*(x－50)EndIf输出y.A．25B．30C．31D．61-15-\n2．C [解析]算法语言给出的是分段函数y＝输入x＝60时，y＝25＋0.6(60－50)＝31.8．L1，L2[2022·重庆卷]执行如图1－4所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )图1－4A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤98．B [解析]第一次输入得s＝log23，k＝3；第二次得s＝log23·log34＝2，k＝4；第三次得s＝2log45，k＝5；第四次得s＝2log45·log56＝2log46，k＝6；第五次得s＝2log46·log67＝2log47，k＝7；第六次得s＝2log47·log78＝2log48＝2log44＝3，k＝8，输出，故选B.L3 算法案例 L4 复数的基本概念与运算 2．L4[2022·新课标全国卷Ⅰ]若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )A．－4B．－C．4D.2．D [解析]z＝＝＝＝＋i，故z的虚部是.1．L4[2022·安徽卷]设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝( )A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i1．A [解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以z·zi＋2＝2z，即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.2．L4[2022·北京卷]在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限-15-\nC．第三象限D．第四象限2．D [解析](2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D.1．L4[2022·福建卷]已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．D [解析]z＝1－2i，对应的点为P(1，－2)，故选D.3．L4[2022·广东卷]若复数iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．(2，4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4，2)3．C [解析]设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai＝2＋4i，解得b＝－2，a＝4.故在复平面内，z对应的点的坐标是(4，－2)，选C.1．L4[2022·湖北卷]在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．D [解析]z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i，z对应的点在第四象限，选D.1．L4[2022·湖南卷]复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．B [解析]由题z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B.2．L4[2022·江苏卷]设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．2．5 [解析]因为z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，所以复数z的模为5.1．A1，L4[2022·江西卷]已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )A．－2iB．2iC．－4iD．4i1．C [解析]zi＝4z＝－4i，故选C.1．L4[2022·辽宁卷]复数z＝的模为( )A.B.C.D．21．B [解析]复数z＝＝－，所以|z|＝－＝，故选B.2．L4[2022·全国卷](1＋i)3＝( )A．－8B．8C．－8iD．8i2．A [解析](1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8.-15-\n1．L4[2022·山东卷]复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i1．D [解析]设z＝a＋bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi－3)(2－i)＝(2a＋b－6)＋(2b－a＋3)i＝5，即解之得∴z＝5－i.6．L4[2022·陕西卷]设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z6．D [解析]设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝0a＝c，b＝d，故A正确．若z1＝z2，则a＝c，b＝－d，所以z1＝z2，故B正确．若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·z1＝z2·z2，故C正确．又z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi，由a2＋b2＝c2＋d2不能推出z＝z成立，故D错．2．L4[2022·四川卷]如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数z，则图1－1中表示z的共轭复数的点是( )图1－1A．A B．B C．C D．D2．B [解析]复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称．9．L4[2022·天津卷]已知a，b∈R，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.9．1＋2i [解析](a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，∴解得a＝1，b＝2.故a＋bi＝1＋2i.2．L4[2022·新课标全国卷Ⅱ]设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i2．A [解析](1－i)z＝2i，则z＝＝i(1＋i)＝－1＋i.故选A.1．L4[2022·浙江卷]已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i1．B [解析](－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选择B.11．L4[2022·重庆卷]已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．-15-\n11. [解析]因为z＝＝2＋i，所以|z|＝＝.L5 单元综合 1．[2022·杭州质检]若程序框图如图K42－4所示，则该程序运行后输出k的值是( )图K42－4A．4B．5C．6D．71．B [解析]由题意，得n＝5，k＝0⇒n＝16，k＝1⇒n＝8，k＝2⇒n＝4，k＝3⇒n＝2，k＝4⇒n＝1，k＝5⇒终止当n＝2时，执行最后一次循环；当n＝1时，循环终止，这是关键．输出k＝5.-15-
