第三单元 导数及其应用第14讲 导数的概念及运算 1.下列求导运算正确的是( )A．(x＋)′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx 2.若f′(x0)＝3，则等于( )A．3B．6C．9D．12 3.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2022(x)＝( )A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx 4.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________． 5.(2022·广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为______________． 6.已知函数f(x)＝f′()·sinx＋cosx，则f()＝______． 7.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，试求a1＋a2＋…＋a99的值． 8.(2022·浙江卷)设a＞0，b＞0( )A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b 9.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为______．10.已知函数f(x)＝x3＋x－16.3\n(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点的坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点的坐标与切线方程．第14讲1．B 2.B 3.C 4.e 5.2x－y＋1＝0 6.07．解析：因为y′＝(n＋1)xn，故y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，则xn＝，所以an＝lg.所以a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝－2.8．A 解析：若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a＞2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f′(x)＝2xln2＋2＞0恒成立，故有函数f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．9．2 解析：因为f′(0)＝b>0，由f(x)≥0恒成立，得，所以0<b2≤4ac且a>0，c>0.所以＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2.(当且仅当a＝c，且b2＝4ac时取“＝”)10．解析：(1)因为f(2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f′(x)＝3x2＋1，故曲线在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为y＝13(x－2)－6，即13x－y－32＝0.(2)方法1：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，所以直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.因为直线l过原点，所以0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，整理得x03＝－8，所以x0＝－2，则y0＝－26，f′(x0)＝13.所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法2：设直线l的方程为y＝k1x，切点为(x0，y0)，则k1＝＝.又因为k1＝f′(x0)＝3x02＋1，所以＝3x02＋1，解得x0＝－2.所以y0＝－26，k1＝13.所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．3\n(3)因为所求切线与直线y＝－x＋3垂直，所以斜率k2＝4.设切点为(x0′，y0′)，则f′(x0′)＝3x′02＋1＝4，所以x0′＝±1，所以或.所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.3
