第31讲 等差数列的概念及基本运算 1.(2022·江西卷)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( )A．18B．20C．22D．24 2.若数列{an}的前n项和为Sn＝an2＋n(a∈R)，则下列关于数列{an}的说法正确的是( )A．{an}一定是等差数列B．{an}从第二项开始构成等差数列C．a≠0时，{an}是等差数列D．不能确定其是否为等差数列 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝( )A．1B.C.D．－ 4.(2022·广东卷)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝__________． 5.已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式为__________． 6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝__________． 7.(2022·广东省肇庆市第一次模拟)已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)设cn＝，bn＝2cn，求T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋…＋log2bn的值．5\n 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26.记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是______． 2.(2022·湖北省重点教学全作学校)等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S20＝S40，则下列结论中正确的选项为______．①S30是Sn中的最大值；②S30是Sn中的最小值；③S30＝0;④S60＝0. 3.已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．5\n第31讲巩固练习1．B 2.A 3.B4．2n－1 解析：设公差为d(d>0)，则1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝2，所以an＝2n－1.5．－解析：由an＋1·an＝an＋1－an，得－＝1，即－＝－1，又＝－1，则数列{}是以－1为首项和公差的等差数列，于是＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以an＝－.6.解析：由等差数列的求和公式可得，＝＝，可得a1＝2d且d≠0.所以＝＝＝.7．解析：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，，解得，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)因为an＝－2n＋5，所以cn＝＝＝n，所以bn＝2cn＝2n，所以T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋…＋log2bn＝log22＋log222＋log223＋…＋log22n＝1＋2＋3＋…＋n＝.提升能力1．2解析：因为{an}为等差数列，由a4－a2＝8，a3＋a5＝26，可解得a1＝1，d＝4，从而Sn5\n＝2n2－n，所以Tn＝2－，若Tn≤M对一切正整数n恒成立，则只需Tn的最大值≤M即可．又Tn＝2－<2，所以只需2≤M，故M的最小值是2.2．④解析：因为Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，当d>0时，S20＝S40，则S30为最小值；若d<0，S20＝S40，则S30为最大值；因此S30不一定为0，因此①②③不正确；在等差数列{an}中，S20，S40－S20，S60－S40成等差数列．所以2(S40－S20)＝S20＋S60－S40，又S40＝S20⇒S60＝0，故选项④正确．3．解析：(1)证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1，所以{bn}是公差为1的等差数列．(2)由(1)知，bn＝b1＋(n－1)×1＝＋(n－1)＝n－，所以＝n－，所以an＝，又an＝1＋，由函数y＝1＋的图象可知，5\nn＝4时，an最大；n＝3时，an最小，所以最大项为a4，最小项为a3.5
