第63讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题 1.某校4名高三毕业学生每人选报3个自主招生志愿中的一个志愿，则选择的方法共有( )A．81B．48C．18D．36 2.如右图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A．26B．24C．20D．19 3.(2022·辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9! 4.(2022·北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24B．18C．12D．6 5.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共________个． 6.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人选派4人承担这三项任务，不同的选法共有多少种？ 7.中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多少种？4\n 8.计算1！＋2！＋3！＋…＋100！的结果，其个位数字是______． 9.三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524，734等都是凹数，那么各数位上无重复数字的三位凹数共有________个．10.已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0，1，2，3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每个元素都有原象，这样不同的映射f：A→B有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的映射f：A→B有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的映射f：A→B又有多少个．4\n4\n第63讲1．A 2.D 3.C 4.B 5.1926．解析：分三步完成：先由10人中任选2人承担甲项任务有C102种选法；再从剩余的8人中选1人承担乙项任务有C81种选法；最后由余下的7人中任选1人承担丙项任务有C71种选法；根据乘法原理，共有C102·C81·C71＝2520种选法．7．解析：方法1：若每个区域服装颜色不相同，则有C41·C31·C21·C11＝24种，若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另二区域不同色，则有2C41×3×2＝48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C42·A22＝12种．故共有24＋48＋12＝84种．方法2：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3＋4×3×2×2＝84种方法．8．3 解析：因为5！＝5×4×3×2×1＝120，其后6！，…，100！的个位数字都是0，所以影响所求数个位数字的只有1！＋2！＋3！＋4！＝33，所以其个位数字是3.9．240 解析：当十位数字为0时有9×8个；当十位数字为1时有8×7个，…，当十位数字为7时有2×1上．因此共有9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝240个．10．解析：(1)显然对应是一一对应，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，f共有4×3×2×1＝24个；(2)0必无原象，1，2，3有无原象不限，所以A中元素找象时均有3种方法，所以不同的f共有34＝81个．(3)分四类：第1类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第2类：A中有两元素对应1，一元素对应2，一元素对应0有C42C21＝12种方法；第3种：A中有两元素对应2，另两元素对应0有C42C22＝6种方法；第4种：A中有一元素对应1，一元素对应3，另两元素对应0，有C41C31＝12种．由分类计数原理不同的f共有1＋12＋6＋12＝31个．4
