第十一章计数原理第一讲 两个计数原理、排列与组合1.[2021江苏省高三学情调研]某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作,每名大学生只去1个山村,每个山村至少有1人去,则不同的分配方案共有( )A.6种B.24种C.36种D.72种2.[2021山东新高考模拟]2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,为顺利完成“一收入、两不愁、三保障”,即贫困人口的收入要超过现行扶贫标准,贫困人口不愁吃、不愁穿,贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数为( )A.15B.60C.90D.5403.[2021陕西高三第一次高考模拟]甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游,每个地方至少有一人去,且甲、乙两人不能去同一个地方,则不同的方法种数为( )A.18B.24C.30D.364.[2020洛阳市第一次联考]某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( )A.16B.18C.24D.325.[2020江西临川一中第一次联考]将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子中放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为( )A.40B.60C.80D.1006.[数学文化题]中秋节是中国传统佳节,赏花灯是常见的中秋活动.某社区拟举办庆祝中秋的活动,准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯,其中有2盏是人物灯.现要求这3个地方都有灯(同一地方的花灯不考虑位置的差别),且人物灯必须分开悬挂,则不同的悬挂方法种数为( )A.42B.72C.92D.1147.[2020北京市通州区模拟]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中百位上的数字是5的四位数共有 个.(用数字作答) \n8.[2020四川模拟]某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数学、英语为必选科目.从物理、化学、生物、历史、地理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他选择的组合方式有 种(用数字作答). 9.[2021皖西南十校联考]扶贫结对中,5名妈妈各带一名孩子到农村帮扶和体验生活(5个孩子中有3男2女).村委会需要安排1名妈妈带3个孩子去完成某项任务,且至少要选1个女孩,王林(男)和他的妈妈始终在一起,李台(男)和他的妈妈有且仅有一人前往.则可选的方案的种数是( )A.12B.24C.36D.4810.[2021武汉调研]三对孪生兄弟排成一排照相,则仅有一对孪生兄弟相邻的排法种数是( )A.72B.144C.240D.28811.[2020陕西西安二检]将“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A.72B.120C.192D.24012.[2019河南濮阳模拟]安排A,B,C,D,E,F六位义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人的住址距离问题,不安排义工A照顾老人甲,不安排义工B照顾老人乙,则不同的安排方法共有( )A.30种B.40种C.42种D.48种13.[2020重庆九龙坡区7月模拟]如图11-1-1所示的五个区域中,中心区域E是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择,四种颜色可以不用完.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为 . 图11-1-114.[2020潍坊市5月高考模拟]植树造林,绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗,如图11-1-2所示,其中A,B,C分别与E,F,G关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵,\n且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则不同的种植方法数是 .(用数字作答) 图11-1-215.[原创题]“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号“——”和“——”,其中“——”在二进制中记作“1”,“——”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为( )A.0,1,2,3 B.0,1,2 C.0,1 D.1,216.[与化学综合]过氧化氢(H2O2)是一种重要的化学品,工业用途广泛,通过催化H2和O2直接合成H2O2目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中,已知氧的同位素有17种,氢的同位素有3种,现有由16O,18O及1H,2H,3H五种原子中的几种构成的过氧化氢分子,则分子种数最多为 . 答案第一讲 两个计数原理、排列与组合1.C 先从4名大学生中选2名构成1组,有C42种方法,再与剩下的2名大学生分配到3个山村有A33种方法,由分步乘法计数原理得不同的分配方案共有C42A33=36(种).\n2.C 依题意,首先将6人平均分成3队,再将3队进行全排列,所以不同的派出方法种数为C62C42C22A33·A33=90.3.C 解法一 (1)甲单独去一个地方,乙、丙、丁三人分成两组分别去另外两个地方,则不同的方法种数是C32·A33=18;(2)甲与除乙之外的另一人去一个地方,剩余两人分别去另外两个地方,则不同的方法种数是C21·A33=12.由(1)(2)可知,一共有18+12=30(种)方法,故选C.解法二 将四人分成三组,分别去三个地方,有C42·A33=36(种)方法,其中甲、乙去同一地方有A33=6(种)方法,所以甲、乙两人不能去同一个地方的不同方法种数为36-6=30.故选C.4.C 第一步,将3辆不同型号的车进行排列,有A33种方法;第二步,把剩余的4个车位看成一个元素,插入3辆车所形成的4个空位中,有C41种方法.由分步乘法计数原理可知,不同的停放方法共有A33·C41=24(种).故选C.5.A 根据题意,在六个盒子中任选三个,分别放入与其编号相同的小球,不同的选法共有C63=20(种).再将其余三个盒子中分别放入一个与其编号不同的小球,有2种放法.则不同的放法有20×2=40(种).故选A.6.D 按要求,3个地方的花灯的数量分布应该为1,1,3或1,2,2两种情况.若为1,1,3,则不同的悬挂方法有A33+C21C32A33=42(种);若为1,2,2,则不同的悬挂方法有C31C21A33+C21C31A33=72(种).由分类加法计数原理可得,满足条件的不同悬挂方法种数为42+72=114.故选D.7.48 依题意,组成的没有重复数字的四位数的百位上的数字为5,分两步进行分析:①组成的四位数的千位上的数字不能为0,则千位上的数字有4种选法;②在剩下的4个数字中选出2个,分别安排在十位和个位上,不同的安排方法共有A42=12(种).则符合条件的四位数共有12×4=48(个).8.30 “物理和化学两科中至多选一科”的选法可分两类.第一类,不选物理和化学,选法有C53=10(种);第二类,选物理和化学中的一门,选法有C21C52=20(种).所以他选择的组合方式共有10+20=30(种).9.A 分三种情况考虑:(1)王林的妈妈去,此时王林和李台都去,有C21=2(种)方案.(2)李台的妈妈去,此时王林和李台都不去,有C33=1(种)方案.(3)王林的妈妈和李台的妈妈都不去,此时王林不去,李台去,有C31(C21C11+C22)=9(种)方案.因此总共有2+1+9=12种方案.故选A.\n10.D 第一步,选一对孪生兄弟使之相邻,捆绑在一起看作一个复合元素A,有C31A22=6(种)排法.第二步,现在可以看作有5个位置,若A排在两端,则有2C41C21=16(种)排法;若A排在左数或右数第二个位置,则有2C41C21=16(种)排法;若A排在正中间的位置,则有C41C21A22=16(种)排法.由分步乘法计数原理,知三对孪生兄弟排成一排照相,仅有一对孪生兄弟相邻的排法有6×(16+16+16)=288(种).故选D.11.D 若将“124467”重新排列后所得数为偶数,则末位数字应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以偶数有5×4×3×2×12=60(个);(2)若末位数字为6,同理偶数有5×4×3×2×12=60(个);(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以偶数有5×4×3×2×1=120(个).综上可知,不同的偶数共有60+60+120=240(个).故选D.12.C 解法一 先按A分类,兼顾考虑B,分类如下.A照顾乙,B照顾甲,有安排方法C41·C31=12(种);A照顾乙,B照顾丙,有安排方法C41·C31=12(种);A照顾丙,B照顾甲,有安排方法C41·C31=12(种);A照顾丙,B照顾丙,有安排方法C42=6(种).综上分析可得,不同的安排方法共有12+12+12+6=42(种).故选C.解法二(间接法) 六位义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人,共有安排方法C62C42=90(种).其中A照顾老人甲的情况有C51C42=30(种);B照顾老人乙的情况有C51C42=30(种);A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有C41C31=12(种).所以符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种).故选C.13.84 按选取颜色种数,可分三类.第一类:用四种颜色涂色,不同的涂色方法有A44=24(种).第二类:用三种颜色涂色,不同的涂色方法有2A43=48(种).第三类:用两种颜色涂色,不同的涂色方法有A42=12(种).根据分类加法计数原理,不同的涂色方法种数为24+48+12=84.14.36 由题意知,七个点可种植,其中C,G相同,B,F相同,A,E相同.将相同的两点捆绑看作一个整体,则只需将D,{C,G},{B,F},{A,E}分成三组,每组种植一种树苗即可.显然,第一步,\n分组,不同的分组方法为C42=6(种);第二步,种植,每组种植一种树苗,不同的种植方法为A33=6(种).由分步乘法计数原理可得,不同的种植方法有6×6=36(种).15.A 根据题意,从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类:由两个“——”组成,二进制数为11,转化为十进制数,为3.第二类:由两个“——”组成,二进制数为00,转化为十进制数,为0.第三类:由一个“——”和一个“——”组成,二进制数为10,01,转化为十进制数,为2,1.所以从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选A.16.18 过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子,共4个原子.构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种,取法共有C21+C22=3(种);构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种,取法共有C31+C32=6(种).因此构成的过氧化氢分子的种数最多为3×6=18(种).
