专题九 高考数学附加选做题训练第25讲 几何证明选讲江苏高考理科数学对理科选修附加部分知识的考查只要求了解与理解两个层次(在下表中分别用A、B、C表示)．几何证明是选做题之一，考试中属于容易题．A(了解)：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．B(理解)：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．考试说明：序号内容要求ABC1相似三角形的判定与性质定理√2射影定理√3圆的切线的判定与性质定理√4圆周角定理，弦切角定理√5相交弦定理、割线定理、切割线定理√6圆内接四边形的判定与性质定理√例1锐角三角形ABC内接于圆O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连结EC，求∠OEC.解：连结OC.∵∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝80°.∵OE⊥AB，∴E为的中点，∴和的度数均为80°.∴∠EOC＝80°＋80°＝160°.∴∠OEC＝10°.如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝CD.证明：作直径AF，连结BF、CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.-6-\n又OE⊥AB，O为AF的中点，则OE＝BF.∵AC⊥BD，∴∠DBC＋∠ACB＝90°.又AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°，∠AFB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.从而得OE＝CD.例2如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)因为＝，所以∠ABC＝∠BCD.因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD.如图，D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F、G两点．若CF∥AB.证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)如图，因为D、E分别为AB、AC的中点，所以DE∥BC.又CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知，∠CBD＝∠CDB.-6-\n又∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.例3如图，AB是圆O的直径，C、F是圆O上的两点，OC⊥AB，过点F作圆O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.证明：连结OF，因为DF切圆O于F，所以∠OFD＝90°，所以∠OFC＋∠CFD＝90°.因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.又CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°，所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.又DF是圆O的切线，所以DF2＝DB·DA，即DE2＝DB·DA.如图，在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN＝2AM.求证：AB＝2AC.证明：在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以＝. ①因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM·BA＝BN·BC，即＝.又BN＝2AM，所以＝.②由①②，得AB＝2AC.例4如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD、BC的延长线交于点F，∠AED、∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．证明：连结EF，因为EM是∠AEC的角平分线，所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.-6-\n而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA)＝360°－2(∠FEM＋∠EFM)＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°，即∠BCD与∠BAD互补．所以四边形ABCD内接于圆．如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明：连结OP、OM，因为AP与圆O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是圆O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解：由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.1.(2022·江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD，∵AB、BC分别与圆O相切于点D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，∴Rt△ADO∽Rt△ACB，∴＝.∵BC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.2.如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.-6-\n证明：由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD，得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3.如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC、AE、DE.求证：∠E＝∠C.证明：连结AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.∵BD＝DC，∴AD是线段BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.又D、E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B＝∠E.∴∠E＝∠C.(本题还可连结OD，利用三角形中位线来求证∠B＝∠C)4.(2022·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.证明：因为B、C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.因为C、D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B、∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2022·泰州期末)如图，AB是圆O的一条直径，C、D是圆O上不同于A、B的两点，过B作圆O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BN＝BM.求证：(1)∠NBD＝∠DBM；(2)AM是∠BAC的角平分线．-6-\n证明：(1)∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°.而BN＝BM，∴△BNM为等腰三角形BD为∠NBM的角平分线∠DBC＝∠DBM.(5分)(2)BM是圆O的切线，∠DAB＝∠DACAM是∠CAB的角平分线．(10分)已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D.(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求的值．解：(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.又BE为圆O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ADF＝(180°－∠BAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴＝.又AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB＝∠EAC.由∠BAE＝90°及三角形内角和知∠B＝30°.∴在Rt△ABE中，＝＝tanB＝tan30°＝.-6-
