第28讲 不等式选讲近几年江苏高考不等式选讲主要考查不等式性质、证明及含有绝对值的不等式的求解，属于容易题与中档题之间．复习中不易过难，多以中档题训练，要注重不等式性质与常规证明不等式方法及含有绝对值不等式的求解，同时要注意分类讨论及一题多法等．考试说明：序号内容要求ABC1 讲不等式的基本性质 √2含有绝对值的不等式的求解√3不等式的证明(比较法、综合法、分析法)√4算术-几何平均不等式、柯西不等式√√5利用不等式求最大(小)值√6运用数学归纳法证明不等式√例1已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.已知关于x的不等式|x－a|＋1－x＞0的解集为R，求实数a的取值范围．解：若x－1＜0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2＞(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]＞0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以或对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，解得a＜1.故a的取值范围是(－∞，1)．例2已知x、y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.证明：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|≤3×＋2×＝1.即|x＋5y|≤1.-4-\n已知实数x、y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，所以|y|<.例3已知a、b、c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．解：由柯西不等式，得[a2＋(b)2＋(c)2][12＋＋]≥(a＋b＋c)2.因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，－≤a＋b＋c≤.故a＋b＋c的最大值为，当且仅当a＝2b＝3c＝.设x、y、z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求证：x＋y＋z＝.证明：∵14＝(x＋2y＋3z)2≤(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)＝14，∴＝＝，∴z＝3x，y＝2x.又x＋2y＋3z＝，∴x＝，y＝，z＝，∴x＋y＋z＝.例4已知a、b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值．(1)证明：(方法1)∵a>0，b>0，∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．(方法2)∵＋－(a＋b)＝＝＝＝.∵a>0，b>0，∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴＋≥a＋b.(2)解：∵0<x<1，∴1－x>0，-4-\n由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立．∴函数y＝＋(0<x<1)的最小值为1.已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2＋b2＋c2＝n2＋p2＋q2＝m.(1)求m的值；(2)求证：＋＋≥2.(1)解：(解法1)f(x)＝|x－2|＋|x－4|＝可得函数的最小值为2.故m＝2.(解法2)f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2，当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m＝2.(2)证明：·(a2＋b2＋c2)≥，即×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4，故＋＋≥2.1.(2022·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.2.设a、b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．证明：由a、b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a＜b时，＜，从而()5＜()5，得(－)[()5－()5]>0.综上，a3＋b3≥(a2＋b2)．3.解不等式：x＋|2x－1|＜3.解：原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜，-4-\n所以原不等式的解集为.4.(2022·江苏卷)已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2022·苏锡常镇模考)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．解：由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]≥(x＋y＋z)2.∴x2＋2y2＋3z2≥.(2分)当且仅当＝＝时取等号，即x＝，y＝，z＝取等号．(5分)则|a－2|≤.(7分)所以实数a的取值范围为.(10分)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2，解得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式等价于不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.-4-
