第30讲 概率统计、计数原理1.(1)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：①a1＋a2＋…＋a7；②a0＋a2＋a4＋a6；③a1＋a3＋a5＋a7；(2)已知的展开式的二项式系数之和比(a＋b)2n的展开式的系数之和小240，求的展开式中系数最大的项．解：(1)①∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.令x＝0得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.②令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187.由(1)和上式得a0＋a2＋a4＋a6＝1093.③由a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1和a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187，两式相减得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094.(2)由题意，得2n＝22n－240，∴22n－2n－240＝0，即(2n－16)(2n＋15)＝0.∵2n＋15＞0，∴2n－16＝0.∴n＝4.∴＝.∵的展开式中二项式系数最大的项为第3项，∴所求展开式中系数最大的项为第3项，即T3＝C()2＝6.2.求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．证明：1＋2＋…＋25n－1＝＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C·31n－1＋…＋C·31＋C－1＝31n＋C·31n－1＋…＋C·31＝31·(31n－1＋C·31n－2＋…＋C)，∵31n－1，C·31n－2，…，C都是整数，∴原式可被31整除．3.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商品不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．解：(1)P(“当天商品不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.-3-\n(2)由题意知，X的可能取值为2、3.P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝，P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.故X的分布列为X23PX的数学期望为E(X)＝2×＋3×＝.4.某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解：这是等可能性事件的概率计算问题．(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.(2)ξ的所有可能值为1、2、3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.综上知ξ的分布列为ξ123P从而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.5.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解：(1)X的所有可能取值为0、1、2、3、4，P(X＝i)＝(i＝0、1、2、3、4)．即X01234P(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100、2800、3500.-3-\n则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝.E(Y)＝3500×＋2800×＋2100×＝2280.故新录用员工月工资的期望为2280元．6.下图是某游戏中使用的材料均匀的圆形转盘，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分的面积各占转盘面积的、、、.游戏规则如下：①当指针指到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分时，分别获得积分100分、40分、10分、0分；②(ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；(ⅱ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．硬币正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ.(1)求ξ＝0的概率；(2)求ξ的概率分布及数学期望．解：(1)事件“ξ＝0”包含“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，所以P(ξ＝0)＝＋××＝.(2)ξ的所有可能取值为0，10，40，100，由(1)知P(ξ＝0)＝，又P(ξ＝10)＝，P(ξ＝40)＝×＝，P(ξ＝100)＝＋××＝，所以ξ的概率分布为ξ01040100P故E(ξ)＝0×＋10×＋40×＋100×＝(分)．-3-
