第26讲 矩阵与变换1.已知矩阵M＝，点A(1，0)在矩阵M对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵M的逆矩阵M－1.解：∵＝，∴a＝1，b＝2，∴M＝，∴2.已知矩阵M＝不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值．解：由题意，矩阵M的行列式＝0，解得x＝5，矩阵M＝的特征多项式f(λ)＝＝(λ－5)(λ－6)－(－5)×(－6)．令f(λ)＝0并化简得λ2－11λ＝0，解得λ＝0或λ＝11，所以矩阵M的特征值为0和11.3.已知，点A在变换T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－3，4)，求点A的坐标．解：＝.设A(a，b)，则由＝，得所以，即A(－2，3)．4.设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)，若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a＋b的值．解：设曲线C：x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则＝，即又点P1(x1，y1)在曲线C′：＋y2＝1上，所以＋y＝1，则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝3.5.已知矩阵A＝，B＝，直线l：x＋y＋2＝0先经过矩阵B变换，再经过矩阵A变换得到直线l′，试求l′的方程．解：AB＝，设直线l上任意一点经两次变换后得到，则-2-\n＝.∴∴∵x＋y＋2＝0，∴＋＋2＝0，∴x′＋y′＋2＝0，即l′的方程是x＋y＋2＝0.6.已知矩阵M＝对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C：xy＝1变为曲线C′.(1)求实数a、b的值；(2)求曲线C′的方程．解：(1)由题知，＝，即解得(2)设P′(x，y)是曲线C′上任意一点，P′由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所对应的变换得到，所以＝，即解得因为x0y0＝1，所以·＝1，即－＝1.即曲线C′的方程为－＝1.-2-
