第20讲 数形结合思想1.有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数学、物理、化学小组的人数分别为28、25、15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，则同时参加数理化小组的人数有________人．答案：1解析：利用韦恩图可以解决．2.已知点P(x，y)满足x2＋y2≤1，则点P(x，y)落在区域|x|＋|y|≤1内的概率为________．答案：解析：这是一道几何概率题，P＝＝.3.若定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝2，则不等式f(logx)>2的解集为________________．答案：解析：f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(logx)＞2即f＞f，亦即＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2.4.已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是__________．答案：(2，＋∞)5.若点P(x，y)满足x2＋y2＝1，则的取值范围是________．答案：解析：点P(x，y)是在以(0，0)为圆心，1为半径的圆上动点，看成是圆上的点与点(－2，0)连线的斜率．6.已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，S5<S6，S6＝S7>S8，则下列四个结论中，正确的有________．(填序号)①d<0；②a7＝0；③S9>S5；④S6与S7均为Sn的最大值．答案：①②④7.函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是________．答案：(1，3)解析：由f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]，得f(x)＝画出函数的图象可得1＜k＜3.8.在ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠DAB＝60°，点M为AB的中点，-5-\n点P在BC与CD上运动(包括端点)，则·的取值范围是____________．答案：解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，M(1，0)，B(2，0)，D，C(，)．设P(x，y)，≤x≤，则·＝x－y.P在DC上时，y＝，则·＝x－∈；P在BC上时，BC所在直线方程为y＝(x－2)，·＝3－x，x∈，·＝3－x∈.综上，·的取值范围是.9.如图，三棱锥ABCD的侧面是顶角为40°，腰长均为1的全等三角形，动点P从三棱锥ABCD的顶点B沿侧面运动一圈再回到点B，则动点P所走的最短路径长为______________．答案：解析：将三棱锥沿BA展开得一平面图形，用余弦定理可得＝.10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为______________．答案：2－2解析：当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，当1≤x≤2时，f(x)＝f(x－1)＋f(1)＝(x－1)2＋1，∵f(x)是定义在R上的奇函数，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，∴x＞0时，两个函数的图象，只有2个交点，如图．设切点为(a，f(a))．f′(x)＝2x－2.则＝2a－2，解得a＝.∴k＝2－2.此时有两个交点，x＜0时，也有两个交点，x＝0也是交点，∴k＝2－2时有5个交点．-5-\n11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．解：(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，∴ω＝＝2.∵点在函数图象上，∴Asin＝0，即sin＝0.∵0<φ<，∴<＋φ<，从而＋φ＝π，即φ＝.又点(0，1)在函数图象上，∴Asin＝1，A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)g(x)＝2sin－2sin＝2sin2x－2sin＝2sin2x－2＝sin2x－cos2x＝2sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调递增区间是，k∈Z.12.如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积．-5-\n(1)证明：∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.∵CD为∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2.∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°.∴DE⊥DC.又平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE平面ACD，∴DE⊥平面BCD.(2)解：∵EF∥平面BDG，EF平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.作BH⊥CD于点H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝.S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin30°＝.VBDEG＝S△DEG·BH＝××＝.13.已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a、b的值；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(3)讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由．解：(1)因为f′(x)＝x－(x>0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以解得a＝2，b＝－2ln2.(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤1.-5-\n(3)当a＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．当a<0时，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．因为f(1)＝>0，f＝e－1<0，所以方程有唯一解．当a>0时，f′(x)＝x－＝＝.因为当x∈(0，)时，f′(x)<0，则f(x)在(0，)上为减函数；当x∈(，＋∞)时，则f(x)在(，＋∞)上为增函数．所以当x＝时，f(x)有极小值，即最小值为f()＝a－aln＝a(1－lna)．当a∈(0，e)时，f()＝a(1－lna)>0，方程无解；当a＝e时，f()＝a(1－lna)＝0，此方程有唯一解x＝.当a∈(e，＋∞)时，f()＝a(1－lna)<0，因为f>0且>1，所以方程f(x)＝0在区间(0，)上有唯一解．因为当x>1时，(x－lnx)′>0，所以x－lnx>1，所以x>lnx.f(x)＝x2－alnx>x2－ax.因为2a>>1，所以f(x)>(2a)2－2a2＝0，所以方程f(x)＝0在区间(，＋∞)上有唯一解．所以方程f(x)＝0在区间(e，＋∞)上有两解．综上，当a∈(0，e)时，方程无解；当a<0或a＝e时，方程有唯一解；当a>e时，方程有两解．-5-
