[第7讲 导数及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0B．－4C．－2D．22．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A．3B．2C．1D．3．函数f(x)＝x＋sinx是( )A．偶函数且为减函数B．偶函数且为增函数C．奇函数且为减函数D．奇函数且为增函数4．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A．B．C．D．5．已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是________.提升训练6．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝( )A．1B．C．0D．－17．设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论正确的是( )A．函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增B．函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减C．若b＝－6，则函数f(x)的图像在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10D．若b＝0，则函数f(x)的图像与直线y＝10只有一个公共点8．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的大致图像是( )图719．已知函数f(x)＝x2的图像在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )A．B．(0，－4)C．(2，3)D．10．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为________.-4-\n11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(1)＝0，f′(1)＝0，但x＝1不是函数f(x)的极值点，则abc的值为________.12．若函数f(x)＝2x2－lnx在区间(k－1，k＋1)内有定义且不是单调函数，则实数k的取值范围为________.13．已知函数f(x)＝x－ax2－lnx(a＞0).(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2，求a的值以及切线方程；(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围.14．已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝xex.(1)求f(x)－g(x)的极值；(2)当x∈(－2，0)时，f(x)＋1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.15．已知函数f(x)＝x－1ex的定义域为(0，＋∞).(1)求函数f(x)在[m，m＋1](m>0)上的最小值；(2)对任意x∈(0，＋∞)，不等式xf(x)＞－x2＋λx－1恒成立，求λ的取值范围.-4-\n专题限时集训(七)【基础演练】1．B [解析]f′(x)＝2x＋2f′(1)．令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.2．A [解析]易知x>0，据导数的几何意义，令y′＝x－＝2，解得x＝3，即切点的横坐标为3.3．D [解析]因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又f′(x)＝1＋cosx≥0，所以f(x)为增函数，故选D.4．B [解析]y′＝x2＋1，在点处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝2.所以切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，与坐标轴的交点坐标为，，所以三角形的面积为××＝，选B.5．－1<a<7 [解析]易知f′(x)＝3x2＋4x－a.因为函数在区间(－1，1)上恰有一个极值点，所以g(x)＝3x2＋4x－a＝0在区间(－1，1)上只有一个解，故有g(－1)·g(1)<0⇒(－1－a)(7－a)<0⇒－1<a<7.【提升训练】6．B [解析]y′＝2ax－，据导数的几何意义，y′|x＝1＝2a－1＝0，得a＝.7．C [解析]f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，所以函数在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(－2，2)上单调递减，所以A，B错；由f′(－2)＝0，且b＝－6时，切点为(－2，10)，得切线方程为y＝10，所以C正确；b＝0时，直线y＝10与函数f(x)的图像有3个公共点，所以D错．8．A [解析]f′(x)＝cosx－xsinx，为偶函数，且f′(0)＝1，f′(π)＝－1，故只有A选项符合．9．D [解析]由题意知A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率分别为k1＝2x1，k2＝2x2.又切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.所以两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.又x1≠x2，所以x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.10．(2，＋∞) [解析]f′(x)＝2x－2－>0，即x2－x－2>0，解得x>2.11．9 [解析]由f(1)＝0，得1＋a＋b＋c＝0①.由f′(x)＝3x2＋2ax＋b，得f′(1)＝3＋2a＋b＝0②，由x＝1不是函数的极值点，得Δ＝(2a)2－4×3×b＝4a2－12b＝0③.联立①②③，解得a＝－3，b＝3，c＝－1，所以abc＝9.12．1≤k< [解析]由f′(x)＝4x－＝＝0，且x>0，得x＝.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．因为x＝为导函数f′(x)的零点，函数f(x)在区间(k－1，k＋1)内有定义且不是单调函数，所以0≤k－1<<k＋1，解得1≤k<.13．解：(1)f′(x)＝1－2ax－，由题设，f′(1)＝－2a＝－2，即a＝1.-4-\n此时f(1)＝0，故切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)f′(x)＝－，对于方程2ax2－x＋1＝0，Δ＝1－8a.当a≥时，Δ≤0，f′(x)≤0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2.不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，此时f(x)不是单调函数．综上，a的取值范围是.14．解：(1)令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2x－xex，则h′(x)＝(x＋1)(2－ex)．当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，ln2)ln2(ln2，＋∞)h′(x)－0＋0－h(x)极小值极大值∴h(x)极小值＝h(－1)＝－1，h(x)极大值＝h(ln2)＝ln22.(2)由已知，当x∈(－2，0)时，x2＋2x＋1≥axex恒成立，即a≥＝恒成立．令t(x)＝，则t′(x)＝－.∴当x∈(－2，－1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增；当x∈(－1，0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减．故当x∈(－2，0)时，t(x)max＝t(－1)＝0，∴a≥0.15．解：f′(x)＝＝.令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得x＜1.所以函数f(x)在区间(0，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．(1)当m≥1时，函数f(x)在区间[m，m＋1]上是增函数，所以f(x)min＝f(m)＝.当0＜m＜1时，函数f(x)在区间[m，1]上是减函数，在区间[1，m＋1]上是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝e.(2)由题意，对任意x∈(0，＋∞)，不等式ex＋x2＋1＞λx恒成立，即＋x＋＞λ恒成立．令g(x)＝＋x＋，则g′(x)＝.由g′(x)＞0，得x＞1；由g′(x)＜0，得x＜1.所以g(x)min＝g(1)＝e＋2，所以λ＜e＋2.-4-
