[第15讲 椭圆、双曲线、抛物线](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若＝4，则|PF2|＝( )A．1B．2C．3D．42．下列双曲线的渐近线方程为y＝±2x的是( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝13．若双曲线＋＝1与抛物线y2＝12x有相同的焦点，则k的值为( )A．4B．－4C．2D．－24．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点将长轴三等分，则该椭圆的离心率e等于( )A．B．C．D．5．抛物线y＝x2的焦点坐标是________.提升训练6．抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左焦点，则p＝( )A．B．C．2D．47．已知直线2x－y＋4＝0过椭圆C：＋＝1(m＞0)的一个焦点，则椭圆C的长轴长为( )A．2B．2C．3D．48．已知F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )A．(1，2)B．(1，)C．(1，3)D．(1，)9．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝110．过抛物线C：x2-6-\n＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|＝________.11．若直线y＝mx＋1与曲线x2－4y2＝1恰有两个不同的交点，则m的取值范围是________________.12．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C．若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.13．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4，1)，N(2，2).(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为，求直线l的方程.14．如图151，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(2，0).抛物线C2：y2＝2px(p＞0)与椭圆C1交于A，B两点.(1)求椭圆C1的方程；(2)求·的最小值，并求此时抛物线C2的方程.图151-6-\n15．已知两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件||－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A，B两点.(1)求k的取值范围；(2)如果||＝6，求k的值.-6-\n专题限时集训(十五)【基础演练】1．B [解析]因为a＝3，根据椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，而＝4，所以|PF2|＝2.2．C [解析]设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以＝2，故选C.3．B [解析]因为抛物线的焦点坐标为(3，0)，又双曲线＋＝1与抛物线有共同的焦点，所以k＜0且5－k＝9，解得k＝－4.4． [解析]由题意知2c＝×2a，所以离心率为.5． [解析]因为抛物线方程为x2＝2y，p＝1，所以焦点坐标为.【提升训练】6．C [解析]双曲线的左焦点坐标为(－，0)，抛物线的准线方程为x＝－，所以p＝2.7．A [解析]令方程2x－y＋4＝0中的y＝0，得x＝－2，由题意知椭圆的一个焦点为(－2，0)，则m＝22＋2＝6，则椭圆C的长轴长为2.8．A [解析]由△ABE为锐角三角形可知，只需∠AEF<45°即可，即|AF|<|EF|⇒<a＋c，化简得e2－e－2<0⇒1<e<2.9．D [解析]直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减得＋·＝0，将中点坐标及斜率代入得－＝0，又c＝3，可解得a2＝18，b2＝9.10．1 [解析]设B(x1，y1)，因为y＝x2，所以y′＝x，y′|x＝x1＝x1＝1，可得B.因为F，所以直线l的方程为y＝，故|AF|＝|BF|＝－＝1.11．∪∪ [解析]由题意，方程组恰有两个解，即方程(1－4m2)x2－8mx－5＝0恰有两个解，∴解得－<m<且m≠±.12．－1 [解析]如图所示，在△MF1F2中，直线MF1的斜率为，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.根据椭圆的定义得2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.-6-\n13．解：(1)设椭圆C的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设l：y＝x＋m，联立消去y得5x2＋8mx＋4m2－20＝0，则Δ＝－16m2＋400＞0，所以－5＜m＜5，因为点M到直线l的距离为＝，解得m＝－1(m＝－5舍去)，所以直线l的方程为x－y－1＝0.14．解：(1)由题意知解得a＝2，c＝2，由b2＝a2－c2得b＝2.故椭圆C1的方程为＋＝1.(2)点A与点B关于x轴对称，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，由于点A在椭圆C1上，∴y＝4，由已知有＝(x0－2，y0)，＝(x0－2，－y0)，则·＝x－4x0＋4－4＝x－4x0＝－，由于0＜x0＜2，故当x0＝时，·取得最小值为－，当x0＝时，y＝，又点A在抛物线C2上，代入抛物线C2的方程得2p＝，∴抛物线C2的方程为y2＝x.15．解：(1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，故双曲线E的方程为x2－y2＝1(x＜0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.-6-\n又直线与双曲线的左支交于A，B两点，所以解得－＜k＜－1.(2)因为|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝2.依题意得2＝6，整理后得28k4－55k2＋25＝0，解得k2＝或k2＝，但－＜k＜－1，所以k＝－.-6-
