[第6讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．.“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若关于x的方程x2＋mx＋＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，2)3．函数f(x)＝tanx－在区间内的零点个数是( )A．0B．1C．2D．34．函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)5．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是0和________.提升训练6．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )A．和1B．－4和0C．D．17．设函数f(x)＝4－ax，g(x)＝4－logbx，h(x)＝4－xc的图像都经过点P.若函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝( )A．B．C．D．8．若函数f(x)＝2－|x|－x2＋a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)9．设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论不成立的是( )A．fp[f(0)]＝f[fp(0)]B．fp[f(1)]＝f[fp(1)]C．f[f(2)]＝fp[fp(2)]D．f[f(3)]＝fp[fp(3)]10．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解集是________.-5-\n11．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元.12．在平面直角坐标系中，若A，B两点同时满足：①点A，B都在函数y＝f(x)的图像上；②若点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数y＝f(x)的一个“姐妹点对”(注：点对(A，B)与(B，A)为同一“姐妹点对”).那么函数g(x)＝2x－x－2有________个“姐妹点对”.13．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围.14．已知g＝是奇函数，f＝log4＋mx是偶函数.(1)求m＋n的值；(2)设h＝f＋x，若g>h对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围.15．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)建立奖励方案的函数模型f(x)，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.(2)现有两个奖励方案的函数模型：①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求.-5-\n专题限时集训(六)【基础演练】1．A [解析]若m<0，则方程m＋log2x＝0有一解，即函数f(x)存在零点；反之，若函数f(x)有零点，则m≤0.所以“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.2．B [解析]由题意知Δ＝m2－4×1×＝m2－1>0，解得m<－1或m>1，故选B.3．B [解析]画出函数y＝tanx，y＝在区间上的图像可知，两个函数的图像只有一个公共点，故函数f(x)＝tanx－在区间内的零点个数为1.4．B [解析]根据函数的零点存在性定理，得f(1)f(2)＝－1×＝－<0，故函数的一个零点落在区间(1，2)内．5．－ [解析]因为函数f(x)＝ax＋b的零点为2，所以有2a＋b＝0⇒＝－2.当bx2－ax＝0时，x＝0或x＝＝－，故函数g(x)的零点是0和－.【提升训练】6．D [解析]由2x－2＝0，得x＝1；由2＋log2x＝0，得x＝，不符合题意，舍去．所以函数f(x)的零点为1.7．D [解析]由2＝4－a，得a＝4，即f(x)＝4－4x，其零点x1＝1；由2＝4－logb，得b＝，即g(x)＝4－logx，其零点x2＝；由2＝4－，得c＝－1，即h(x)＝4－x－1，其零点x3＝.故x1＋x2＋x3＝1＋＋＝.8．D [解析]函数f(x)＝2－|x|－x2＋a有两个不同的零点，即方程2－|x|＝x2－a有两个解，即函数y＝2－|x|与函数y＝x2－a的图像有两个不同的交点．函数y＝2－|x|为偶函数，最大值为1，函数y＝x2－a也为偶函数，最小值为－a.作出两函数图像(图略)知，当－a<1，即a>－1时，两函数图像有两个交点．9．B [解析]函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，∴f2(x)＝∴fp[f(0)]＝f2(－1)＝2，f[fp(0)]＝f(－1)＝1＋2－1＝2，故A成立；fp[f(1)]＝f2(－2)＝2，f[fp(1)]＝f(－2)＝4＋4－1＝7，故B不成立；f[f(2)]＝f(－1)＝2，fp[fp(2)]＝f2(－1)＝2，故C成立；f[f(3)]＝f(2)＝－1，fp[fp(3)]＝f2(2)＝－1，故D成立．10．{－1，e－1} [解析]当x≤0时，由－x2－2x＝1，解得x＝－1；当x>0时，由ln(x＋1)＝1，解得x＝e－1.所以方程f＝1的解集为.11．45.6 [解析]设甲地销量为x辆，则乙地销量为(15－x)辆．设总利润为y万元，则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)(0≤x≤15，x∈N)，即y＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)．∵二次函数图像的对称轴为x＝10.2，且x∈N，∴当x＝10时，y最大，最大值为45.6.12．1 [解析]不妨设A(m，n)，则B(－m，－n)，代入函数解析式有⇒2m＋2－m－4＝0⇒2m＝2±.-5-\n当m＝log2(2＋)时，A(log2(2＋)，－log2(2＋))，B(－log2(2＋)，－＋log2(2＋))；当m＝log2(2－)＝－log2(2＋)时，A(－log2(2＋)，－＋log2(2＋))，B(log2(2＋),－log2(2＋))，故两种情况的“姐妹点对”一样．13．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像，如图所示．由图像看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图像有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝2x＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t.∵H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，∴H(t)>H(0)＝0，因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0.14．解：(1)∵g为奇函数，且定义域为R，∴g＝0，即＝0，∴n＝1.∵f为偶函数，∴f＝log4－mx＝log4－x＝f＝log4＋mx，∴m＝－.故m＋n＝.(2)∵h＝f＋x＝log4，∴h＝log4.又g＝＝2x－2－x在区间[1，＋∞)上是增函数，∴当x≥1时，g＝g＝，即>log4(2a＋2)．由题意得解得－<a<3，故a的取值范围是.15．解：(1)设奖励方案的函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数，②f(x)≤9恒成立．③f(x)≤恒成立．(2)①对于函数模型f(x)＝＋2：-5-\n当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2＜9，∴f(x)≤9恒成立，又函数＝＋在区间[10，1000]上是减函数，∴＝＋＞，∴f(x)≤不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9，∴f(x)≤9恒成立，设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)＝－，当x≥10时，g′(x)＝－≤＝＜0，∴g(x)在区间[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0，∴4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，∴f(x)＜恒成立，故该函数模型符合公司要求．-5-
