[第13讲 空间中的平行与垂直](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．l1，l2，l3是空间内三条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面2．下列判断错误的是( )A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．平行于同一平面的两个平面互相平行C．经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行D．垂直于同一平面的两个平面互相平行3．已知m，n是两条不同的直线，α为平面，则下列命题为真命题的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m⊥nC．若m⊥α，n∥α，则m⊥nD．若m与α相交，n与α相交，则m，n一定不相交4．设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列命题为真命题的是( )A．若m∥α，则l∥mB．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥βD．若α⊥β，则l∥m5．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，给出下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.提升训练6．如图131所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )图131A．有无数条 B．有2条C．有1条 D．不存在7．在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABCD．平面PDF⊥平面ABC8．已知α，β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β9．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点，且A1F∥平面D1AE，则下列说法错误的是( )\n图132A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE不在同一平面内C．三棱锥FA1D1A的体积为定值D．A1F与D1E不可能平行10．在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体ABCD的四个面中与MN平行的是________.11．如图133所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论错误的是________(填序号).①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥ABEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等.图133 12．如图134所示，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列说法正确的是________.(填序号)①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得GF∥EH∥BD；③存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上.图13413．如图135所示，在三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAC，AB＝BC，E，F分别是PA，AC的中点，求证：\n(1)EF∥平面PBC；(2)平面BEF⊥平面PAC．图13514．如图136所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点.(1)证明：平面PBC∥平面ODM；(2)求点A到平面PCD的距离.图13615．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如图137所示.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由.(2)若棱锥EDFC的体积为，求a的值.(3)在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.图137\n专题限时集训(十三)【基础演练】1．B [解析]垂直于同一条直线的两条直线在平面上是互相平行的，但在空间内不一定互相平行，故A错；在空间内三条直线平行和三条直线共点，并不一定得到这三条直线是共面的，故C、D错．2．D [解析]如正方体中两相邻侧面都垂直于底面，但这两相邻侧面不平行，所以D错．3．C [解析]对于A，m与n还可以相交或异面；对于B，m与n平行；对于D，m与n可以相交．故选C.4．B [解析]直线l⊥平面α，若m∥α，则有l⊥m，A错；若l⊥m，直线m⊂平面β，不能推出直线l垂直于平面β，所以也就没有α∥β，C错；直线l与m还可以相交或异面，D错．故选B.5．② [解析]a不可能与β内的所有直线都平行，故①错误；a与β内的无数条直线平行，故②正确；a可以与β内的某些直线异面垂直，故③错误．【提升训练】6．A [解析]取D1F的中点G，连接EG，易知EG∥平面ADD1A1，所以在平面ADD1A1内不过点D1且平行于直线EG的直线均与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．7．D [解析]因为BC∥DF，所以A正确；易知PE⊥BC，AE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，所以B正确；因为BC⊥平面PAE，所以平面PAE⊥平面ABC，所以C正确，故选D.8．C [解析]在选项A中的条件下，α与β还可以相交；在选项B中的条件下，α与β还可以相交；由垂直于同一条直线的两个平面平行知，选项C中的条件是充分的；在选项D中的条件下，α与β垂直．9．D [解析]当F位于边BB1的中点时，A1F∥D1E，所以D错．10．面ABC与面ABD [解析]如图所示，取CD的中点E，则AE过点M，且AM＝2ME，BE过点N，且BN＝2NE.连接MN，则AB∥MN，∴MN平行于面ABC和面ABD.11．④ [解析]连接BD交AC于点O，易知AC⊥平面D1DBB1，从而AC⊥BE，故①正确；由B1D1∥平面ABCD，可知EF∥平面ABCD，故②正确；AO为三棱锥ABEF的高，S△BEF＝××1＝，所以三棱锥ABEF的体积为××＝，为定值，故③正确；易知④错误．故填④.12．② [解析]若H，F，G分别为AD，CD，BC的中点，则直线GF，EH，BD平行，所以①错，②正确；若存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上，则平面α0与CD的交点不是CD的中点，不满足题意，所以③错．13．证明：(1)△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，所以EF∥PC.又PC ⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC.(2)因为AB＝BC，且点F是AC的中点，所以BF⊥AC.又平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC＝AC，BF ⊂平面ABC，\n所以BF⊥平面PAC.因为BF ⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC.14．解：(1)证明：由题意可知，CD∥BO，CD＝BO，∴四边形OBCD为平行四边形，∴BC∥OD.又∵AO＝OB，AM＝MP，∴OM∥PB.又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴OM∥平面PBC，同理，OD∥平面PBC，又OM∩OD＝O，∴平面PBC∥平面ODM.(2)设点A到平面PCD的距离为d，连接AC.∵V三棱锥APCD＝V三棱锥PACD，结合已知可得××4×2×4＝××4×2d，∴d＝.15．解：(1)AB∥平面DEF，∵E，F分别是AC，BC的中点，故EF∥AB.又AB⊄平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD,将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中点M，则EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，且EM＝.∴V＝××＝，∴a＝2.(3)存在满足条件的点P.因为三角形BDF为正三角形，过B作BK⊥DF，延长BK交DC于K，过K作KP∥DA，交AC于P.则点P即为所求．证明：∵AD⊥平面BCD，KP∥DA，∴PK⊥平面BCD，∴PK⊥DF，又BK⊥DF，PK∩BK＝K，∴DF⊥平面∴PKB，DF⊥PB.又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝KC.故AP∶PC＝1∶2，AP∶AC＝1∶3.
