[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )A．－200B．－100C．200D．1002．等差数列{an}的前20项和为300，则a4＋a6＋a8＋a13＋a15＋a17等于( )A．60B．80C．90D．1203．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中不可能是关于(n，Sn)的图像的是( )图1114．已知数列{an}的首项为1，且满足an＋2－an＝a2－a1＝1，则数列{an}的前100项和为( )A．2600B．2550C．2651D．26525．已知数列{an}，若an＝2n－1－2n＋1(n∈N＋)，则S10＝________.(用数字作答)提升训练6．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝，猜想数列{an}的前2022项的和S2022＝( )A．2022B．2022C．D．7．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.若a2a4＝16，S3＝7,则S4＝( )A．15B．31C．63D．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a＋a2＝2022，a＋a2022＝－2022，则S2022＝( )A．2022B．1C．0D．－19．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为( )A．B．C．D．10．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y\n＋1＝0上，则＋＋…＋＝________.11．等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，若数列的前n项和为，则n的值为________.12．已知数列{an}中，a1＝1，a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1,则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝________.13．设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满足bn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.14．在1和2之间依次插入n(n∈N*)个正数a1，a2，a3，…，an，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，令bn＝2log2Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝2n，设Sn＝＋＋…＋，求Sn.15．已知数列{an}，a1＝a，a2＝p(p为常数且p＞0).Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝.(1)求a的值.(2)试判断数列{an}是不是等差数列？若是，求其通项公式；若不是，请说明理由.(3)若记Pn＝＋(n∈N*)，求证：P1＋P2＋…＋Pn＜2n＋3.\n专题限时集训(十一)【基础演练】1．D [解析]由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2．C [解析]S20＝＝300，所以a1＋a20＝30，所以a4＋a6＋a8＋a13＋a15＋a17＝3(a1＋a20)＝90.3．D [解析]当公差为0时，Sn＝a1n，当公差不为0时，等差数列前n项和为Sn＝An2＋Bn(A，B不为0)，故选项A，B，C可能．4．A [解析]由a2－a1＝1，得a2＝a1＋1＝2，由an＋2－an＝1，得a3－a1＝1，a4－a2＝1，…，an－an－2＝1，各式相加，得an＋an－1－a2－a1＝n－2，即an＋an－1＝n＋1，∴数列{an}的前100项和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝3＋5＋…＋101＝＝2600.5．923 [解析]S10＝a1＋a2＋…＋a10＝(20＋21＋…＋29)－2(1＋2＋…＋10)＋10＝923.【提升训练】6．C [解析]由a1＝2，an＋1＝，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，可知数列具有周期性，且其周期为3，所以S2022＝671×＋2＝.7．A [解析]设公比为q(q＞0，且q≠1)，由得解得q＝2或q＝－(舍)，所以a1＝1，所以S4＝＝15.8．C [解析]将a＋a2＝2022与a＋a2022＝－2022相加得(a2＋a2022)(a－a2a2022＋a＋1)＝0.又a－a2a2022＋a>0恒成立，所以a2＋a2022＝0，所以S2022＝＝1007(a2＋a2022)＝0.9．A [解析]设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，解得q＝2.由＝4a1，得a12＝4a1，所以m＋n＝6.故＋＝·＝＋＋＋≥＋2＝，当且仅当n＝3m时，等号成立．10． [解析]点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，得an＋1－an＝1，即数列{an}为等差数列，且公差为1，所以an＝1＋(n－1)＝n，Sn＝，则＝2，所以＋＋…＋＝2＝.11．16 [解析]设数列{an}的公差为d，则d＝＝3，所以an＝a3＋(n－3)×3＝3n－1，所以＝＝，则Sn＝.令＝，解得n＝16.\n12．1275 [解析]∵an＝n－a2n，an＝a2n＋1－1，∴a2n＋1＋a2n＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝1＋2＋3＋…＋50＝1275.13．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n.又a1＝2满足上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由(1)可知bn＝＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.14．解：(1)方法一：设等比数列1，a1，a2，a3，…，an，2的公比为q，则2＝1·qn＋1，∴qn＋1＝2，∴Tn＝1·a1·a2·…·an·2＝1·q·q2·…·qn·qn＋1＝q1＋2＋3＋…＋(n＋1)＝q＝2，∴bn＝2log2Tn＝2log22＝n＋2.故数列{bn}的通项公式为bn＝n＋2.方法二：设等比数列1，a1，a2，a3，…，an，2的公比为q，则2＝1·qn＋1，∴q＝2，∴am＝1·qm＝(2)m＝2，∴Tn＝1·a1·a2·…·an·2＝1×2×2×…×2×2＝21＋＋＋…＋＝2，∴bn＝2log2Tn＝2log22＝n＋2.故数列{bn}的通项公式为bn＝n＋2.方法三：由Tn＝1·a1·a2·…·an·2，Tn＝2·an·an－1·…·a1·1，得T＝(1×2)(a1×an)(a2×an－1)…(2×1)，由等比数列的性质得T＝2n＋2，∴Tn＝2，∴bn＝2log2Tn＝2log22＝n＋2.故数列{bn}的通项公式为bn＝n＋2.(2)由cn＝2n，得Sn＝＋＋＋…＋，∴Sn＝＋＋＋…＋.由错位相减法求得Sn＝＋＋＋＋…＋－，∴Sn＝4－.15．解：(1)依题意a1＝a，又a1＝S1＝＝0⇒a＝0.(2)由(1)知a1＝0，∴Sn＝，则Sn＋1＝an＋1.两式相减得：(n－1)an＋1＝nan.故有an＝··…··a2＝(n－1)p，n≥2，又a1＝0也满足上式，所以an＝(n－1)p·n∈N*.故{an}为等差数列，其公差为p.\n(3)由题意Sn＝p，∴Pn＝＋＝＋＝2＋－，∴P1＋P2＋…＋Pn＝＋＋＋…＋＝2n＋3－－＜2n＋3.
