第3讲 数列的综合问题1．(2022·湖南)已知a＞0，函数f(x)＝eaxsinx(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点，证明：数列{f(xn)}是等比数列． 2．(2022·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<. 18\n1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一 利用Sn，an的关系式求an1．数列{an}中，an与Sn的关系：an＝.2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1 数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式． 思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n18\n之间的关系，再求an.跟踪演练1 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则数列{an}的通项公式是________．热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．例2 已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩．跟踪演练2 (2022·安徽)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；18\n(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥. 热点三 数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式；(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新． 思维升华 常见数列应用题模型的求解方法18\n(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝.跟踪演练3 某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A．211－47B．212－57C．213－68D．214－80已知数列{an}和{bn}，对于任意的n∈N*，点P(n，an)都在经过点A(－1,0)与点B(，3)的直线l上，并且点C(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{bn}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求证：数列{}的前n项和Tn<. 提醒：完成作业 专题四 第3讲18\n二轮专题强化练专题四第3讲 数列的综合问题A组 专题通关1．(2022·成都外国语学校月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}( )A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )A．15B．12C．－12D．－153．(2022·日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn等于( )A．6n－n2B．n2－6n＋18C.D.4．(2022·成都七中高三上学期期中)今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织( )尺布．(不作近似计算)( )A.B.C.D.5．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，＋＝，若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于，则n等于( )A．5B．6C．7D．818\n6．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.9．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2an－2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{}的前n项和，求证：Tn≥.10．(2022·杭州质检)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*.(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．18\nB组 能力提高11．已知曲线C：y＝(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么( )A．x1，，x2成等差数列B．x1，，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列12．记数列{2n}的前n项和为an，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn＝n－8，则bnSn的最小值为________．13．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{}的最大项的值为________．14．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋λn＋}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18\n学生用书答案精析第3讲 数列的综合问题高考真题体验1．证明 f′(x)＝aeaxsinx＋eaxcosx＝eax(asinx＋cosx)＝eaxsin(x＋φ)，其中tanφ＝，0＜φ＜.令f′(x)＝0，由x≥0得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*，对k∈N，若2kπ＜x＋φ＜(2k＋1)π，即2kπ－φ＜x＜(2k＋1)π－φ，则f′(x)＞0；若(2k＋1)π＜x＋φ＜(2k＋2)π，即(2k＋1)·π－φ＜x＜(2k＋2)π－φ，则f′(x)＜0.因此，在区间((m－1)π，mπ－φ)与(mπ－φ，mπ)上，f′(x)的符号总相反．于是当x＝mπ－φ(m∈N*)时，f(x)取得极值，所以xn＝nπ－φ(n∈N*)．此时，f(xn)＝ea(nπ－φ)sin(nπ－φ)＝(－1)n＋1ea(nπ－φ)sinφ.易知f(xn)≠0，而＝＝－eaπ是常数，故数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝ea(π－φ)·sinφ，公比为－eaπ的等比数列．2．(1)解 由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)证明 由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.18\n于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)<.所以＋＋…＋<.热点分类突破例1 解 由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，即＝1，所以－＝.又S1＝a1＝1，所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此an＝跟踪演练1 an＝2n解析 Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝2或a1＝0(舍去)．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝－⇒a－a＝2(an＋an－1)，因为an>0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2n.例2 解 (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；18\n当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝＝·，故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．因此，要使(1－)<对n∈N*恒成立，则m必须且仅需满足≤，即m≥10.所以满足要求的最小正整数为10.跟踪演练2 (1)解 y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.所以数列{xn}的通项公式为xn＝.(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝22…2.当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝.所以Tn>2×××…×＝.综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.例3 (1)解 当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，当n≥7时，数列{an}从a6开始的项构成一个以a6＝130－60＝70为首项，以为公比的等比数列，故an＝70×()n－6，所以第n年年初M的价值an＝(2)证明 设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，18\nAn＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80，当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．因为An＝＝，A8＝≈82.734>80，A9＝≈76.823<80，所以必须在第九年年初对M更新．跟踪演练3 B [由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57.]高考押题精练(1)解 直线l的斜率为k＝＝2，故直线l的方程为y＝2[x－(－1)]，即y＝2x＋2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.把点C(1,2)代入函数f(x)＝ax，得a＝2，所以数列{bn}的前n项和Sn＝f(n)－1＝2n－1.当n＝1时，b1＝S1＝1；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当n＝1时也适合，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)证明 设cn＝，由(1)知cn＝＝＝＝(－)，18\n所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．因为>0，所以Tn<.18\n二轮专题强化练答案精析第3讲 数列的综合问题1．C [a1＝S1＝a－1，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(n>0)．当a＝1时，Sn＝0，是等差数列而不是等比数列；当a≠1时是等比数列．故选C.]2．A [记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.]3．C [由Sn＝n2－6n可得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7.当n＝1时，S1＝－5＝a1，也满足上式，∴an＝2n－7，n∈N*.∴n≤3时，an<0；n>3时，an>0.∴Tn＝]4．C [由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有390＝30×5＋d，解得d＝.]5．A [令h(x)＝，则h′(x)＝<0，故函数h(x)为减函数，即0<a<1.再根据＋＝，得a＋＝，解得a＝2(舍去)或者a＝.所以＝n，数列的前n项和是＝1－，由于1－＝，所以n＝5.]6．(－2)n－1解析 当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.7．－49解析 设数列{an}的首项和公差分别为a1，d，18\n则则nSn＝n[－3n＋]＝－n2.设函数f(x)＝－x2，则f′(x)＝x2－x，当x∈(0，)时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)min＝f()，但6<<7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，因为－48>－49，所以最小值为－49.8．2n＋1－2解析 ∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.9．(1)解 当n∈N*时，Sn＝2an－2n，则当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)，两式相减得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴＝2，当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2，∴{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2.(2)证明 bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，∴＝，则Tn＝＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－18\n＝＋－＝＋－－＝－，∴Tn＝－，当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＋＝>0，∴{Tn}为递增数列，∴Tn≥T1＝.10．解 (1)∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2(常数)，∴数列{bn}是等差数列．∵a1＝1，∴b1＝2，因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，由bn＝得an＝.(2)由cn＝，an＝得cn＝，∴cncn＋2＝＝2(－)，∴Tn＝2(1－＋－＋－＋…＋－)＝2(1＋－－)<3，依题意要使Tn<对于n∈N*恒成立，只需≥3，即≥3，解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3.11．A [由题意，得B1，B2两点的坐标分别为(x1，)，(x2，)，所以直线B1B2的方程为y＝－(x－x1)＋，18\n令y＝0，得x＝x1＋x2，所以x3＝x1＋x2，因此，x1，，x2成等差数列．]12．－4解析 根据已知，可得an＝n(n＋1)，所以＝－，所以Sn＝，所以bnSn＝＝n＋1＋－10≥－4，当且仅当n＋1＝，即n＝2时等号成立，所以bnSn的最小值为－4.13.解析 依题意得a·b＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n；又a1＝S1＝＝1，因此an＝n，＝＝＝≤，当且仅当n＝，n∈N*，即n＝2时取等号，因此数列{}的最大项的值为.14．解 (1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝(n≥2)．因为a1＝1,2a2＋a1＝2，所以a2＝.所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．所以数列{an}的通项公式为an＝()n－1.(2)由(1)知，Sn＝＝2－.18\n若{Sn＋λn＋}为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2(S2＋)＝S1＋＋S3＋，即2(＋)＝1＋＋＋，解得λ＝2.又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2，显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{Sn＋λn＋}为等差数列．18
