【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练5圆锥曲线理1.已知椭圆＋＝1(a>b≥1)的离心率e＝，右焦点到直线2ax＋by－＝0的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知椭圆C的方程与直线x－y＋m＝0交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求m的取值范围.10\n2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若过顶点A(－，0)的直线l1交y轴于点Q，交曲线C于点R，过坐标原点O作直线l2，使得l2∥l1，且l2交曲线C于点S，证明：|AQ|，|OS|，|AR|成等比数列.3.(2022·天津模拟)如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；10\n(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值.10\n5.已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝，且S△ABF＝1－.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2＋y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D.记满足＝(＋)的动点M的轨迹为Г.(1)求轨迹Г的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹Г交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Г于点Q，且＝λ，λ∈R.①证明：λ2m2＝4k2＋1.②求△AOB的面积S(λ)的解析式，并计算S(λ)的最大值.10\n答案精析中档大题规范练51.解 (1)由题意，知e＝＝，所以e2＝＝＝，所以a2＝2b2.所以a＝c＝b.因为右焦点(c,0)，则＝，所以b＝1，所以a2＝2，b2＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)联立方程消去y，可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，则Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，解得－<m<.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝＋2m＝，所以MN的中点坐标为，又MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，所以2＋2≥1，解得m≥或m≤－.综上可知－<m≤－或≤m<.2.解 (1)因为椭圆C的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1，将点P代入椭圆＋＝1，得4b4－3b2－1＝0，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知直线l1和l2的斜率都存在且相同，10\n设直线l1：y＝k(x＋)，则Q(0，k)，又直线OS：y＝kx，代入＋y2＝1，化简得(1＋2k2)x2＝2，所以|OS|＝|xs－0|，从而2|OS|2＝2(|xs－0|)2＝.将y＝k(x＋)代入＋y2＝1，化简得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－2＝0，所以|AR|＝|xA－xR|＝，又有|AQ|＝，所以|AQ|·|AR|＝＝2|OS|2，所以|AQ|，|OS|，|AR|成等比数列.3.(1)解 依题意，得b＝1.因为e＝＝，又a2－c2＝b2，所以a2＝4.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明 设点P的坐标为(x0，y0)，x0≠0，因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以＋y＝1.因为PQ⊥y轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0).因为M为线段PQ的中点，所以M.又点A的坐标为(0,1)，可得直线AM的方程为y＝x＋1.因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C.因为点B的坐标为(0，－1)，点N为线段BC的中点，所以N.所以向量＝.10\n又＝，所以·＝＋y0(y0＋1)＝－＋y＋y0＝－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0.所以OM⊥MN.4.(1)解 依题意，得c＝，所以a2－b2＝2，由点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b＝|OM|＝1，所以a＝，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明 当直线l的斜率不存在时，由解得x＝1，y＝±.设A，B，则k1＋k2＝＋＝2为定值.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1).将y＝k(x－1)代入＋y2＝1化简整理，得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，所以k1＋k2＝＋＝＝10\n＝＝＝＝2.综上，得k1＋k2＝2为定值.5.解 (1)在双曲线中，c＝，由e＝，得＝，解得a＝b，故c＝2b.所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－b)×b＝1－，解得b＝1.所以a＝，c＝2，其上焦点为F(0,2).所以双曲线M的方程为－x2＝1，抛物线N的方程为x2＝8y.(2)由(1)知抛物线N的方程为y＝x2，故y′＝x，抛物线的准线为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且直线l的方程为y－x＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q(，－2).假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是·＝0对于满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立.10\n由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－2－y1)，由·＝0，得x0·＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0，即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0，(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立，所以解得y1＝2.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2).6.(1)解 设M(x，y)，P(x0，y0)，则点D(x0,0)，且x＋y＝4.(a)∵＝(＋)，∴(b)将(b)代入(a)，得x2＋4y2＝4，∴轨迹Г的方程为＋y2＝1.(2)①证明 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴即(c)∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m＝.又由中点坐标公式，得G.根据＝λ，得Q，将其代入椭圆方程，得＋＝1.化简得λ2m2＝1＋4k2.(d)②解 由(c)，(d)得m≠0，λ>1.10\n|x1－x2|＝＝.(e)在△AOB中，S△AOB＝|m||x1－x2|，(f)由(d)，(e)，(f)可得S(λ)＝＝(λ>1).令＝t∈(0，＋∞)，则S＝＝≤＝1(当且仅当t＝1，即λ＝时取“＝”).∴当λ＝时，S(λ)＝取得最大值，其最大值为1.10
