【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练2概率与统计理1.某校为了了解学生孝敬父母的情况(选项，A：为父母洗一次脚；B：帮父母做一次家务；C：给父母买一件礼物；D：其他).在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表(部分信息未给出)：学生孝敬父母情况统计表选项频数频率Am0.15B60pCn0.4D480.2学生孝敬父母情况条形统计图根据以上信息解答下列问题：(1)这次被调查的学生有多少人？(2)求表中m、n、p的值，并补全条形统计图.(3)该校有1600名学生，估计该校全体学生中选择B选项的有多少人？12\n2.为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：请根据以上提供的信息解答下列问题：(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整.(2)写出下表中a，b，c的值：平均数(分)中位数(分)众数(分)一班ab90二班87.680c(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析；①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩；②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩；③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成绩.12\n3.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？4.小昆和小明相约玩一种“造数”游戏，游戏规划如下：同时抛掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子，硬币的正、反面分别表示“新数”的符号(约定硬币正面向上记为“＋”号，反面上记为“－”号)，与骰子投出面朝上的数字组合成一个“新数”；如抛掷结果为硬币反面向上，骰子面朝上的数字是“4”，记为“－4”.(1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果；(2)写出组合成的所有“新数”；12\n(3)若约定投掷一次的结果所组合的“新数”是3的倍数，则小昆获胜；若是4或5的倍数，则小明获胜.你觉得他们的约定公平吗？为什么？5.2022年12月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地6个储存牛肉的冷库有1个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒DNA来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.方案乙：将样品分为两组，每组3个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染牛肉在这3个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组样品中逐个进行化验.(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；12\n(2)首次化验化验费10元，第二次化验化验费8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？(3)试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.6.某次知识竞赛中，从6道备选题中一次性随机抽取3道，并独立完成所抽取的3道题.甲选手能正确完成其中4道题；乙选手能正确完成每道题的概率都为，且每道题正确完成与否互不影响.规定至少正确答对其中2道题目便可过关.(1)求甲选手能晋级的概率；(2)记所抽取的3道题中，甲选手答对的题目数为ξ，写出ξ的分布列，并求E(ξ)；(3)乙选手能答对的题目数为η，求η的分布列与D(η).12\n7.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据.x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.(相关公式：＝，＝－)12\n8.我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A，B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00，9：00－10：00两个时间段内各发一趟由A城开往B城的列车(两车发车情况互不影响)，A城发车时间及其概率如表所示：发车时间8：108：308：509：109：309：50概率若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站候车的时间分别是周六8：00和周日8：20(只考虑候车时间，不考虑其他因素).(1)求甲、乙二人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ).12\n答案精析中档大题规范练21.解 (1)∵48÷0.2＝240，∴这次被调查的学生有240人.(2)m＝240×0.15＝36，n＝240×0.4＝96，p＝60÷240＝0.25.补全条形统计图如图.(3)∵1600×0.25＝400.∴估计该校全体学生中选择B选项的有400人.2.解 (1)25－6－12－5＝2(人).(2)a＝87.6，b＝90，c＝100.(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成绩好于二班.②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班；③B级以上(包括B级)一班18人，二班12人，故一班的成绩好于二班.3.解 (1)甲至少有一次未击中目标的概率为P1＝P1(1)＋P1(2)＋P1(3)＋P1(4)＝1－P1(0)＝1－()4()0＝.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2＝C24()2()2＝，乙射击4次恰击中3次的概率为12\nP3＝C34()3×＝，由乘法公式，所求概率P＝P2·P3＝×＝.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P＝()3()2＋C12()2()3＝.4.解 (1)根据题意画树状图如下：(2)组成的新数为1,2,3,4,5,6，－1，－2，－3，－4，－5，－6.(3)所有的组合成的新数中是3的倍数的有3,6，－3，－6这四个，因此P(3的倍数)＝＝，是4或5的倍数的有4,5，－4，－5这四个，因此P(4或5的倍数)＝＝，由于两者的概率相同，所以他们的约定公平.5.解 (1)方案乙所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为×＝.第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第1个样品含有病毒的概率为×＝.所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为＋＝.(2)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5，对应的化验费用为η元，则P(ξ＝1)＝P(η＝10)＝，P(ξ＝2)＝P(η＝18)＝×＝，P(ξ＝3)＝P(η＝24)＝××＝，P(ξ＝4)＝P(η＝30)＝×××＝，P(ξ＝5)＝P(η＝36)＝×××＝.则其化验费用η的分布列为12\nη1018243036P所以E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元).所以甲方案平均需要化验费元.(3)由(2)知方案甲平均化验次数为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.设方案乙化验的次数为δ，则δ可能的取值为2,3，所以P(δ＝2)＝，P(δ＝3)＝1－P(δ＝2)＝，所以E(δ)＝2×＋3×＝.则E(ξ)>E(δ)，所以方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库.6.解 (1)记甲选手能晋级为事件A，则基本事件总数n＝C＝20，事件A包含的基本事件m＝C＋CC＝16，所以P(A)＝＝.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.则ξ的分布列为ξ123P所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.(3)依题意知，η服从B.P(η＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.12\n即P(η＝0)＝C03＝，P(η＝1)＝C·12＝，P(η＝2)＝C21＝，P(η＝3)＝C30＝.则η的分布列为η0123P所以D(η)＝3××＝.7.解 (1)散点图如图所示.(2)xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，＝＝6，＝＝4，x＝42＋52＋72＋82＝154，则＝＝＝1，＝－＝4－6＝－2，故线性回归方程为＝x＋＝x－2.(3)由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.8.解 (1)甲到达火车站的时间为周六8：00，所以甲的候车时间有三种情况，如表所示.发车时间8：108：308：50候车时间(分)10305012\n乙到达火车站的时间为周日8：20，所以乙的候车时间有五种情况，如表所示.发车时间8：308：509：109：309：50候车时间(分)1030507090根据表格可知：甲、乙二人候车时间均为10分钟的概率为：×＝；甲、乙二人候车时间圴为30分钟的概率为：×＝；甲、乙二人候车时间均为50分钟的概率为：××＝.所以甲、乙二人候车时间相等的概率为：＋＋＝.(2)乙候车所需时间为随机变量ξ＝10,30,50,70,90.P(ξ＝10)＝；P(ξ＝30)＝；P(ξ＝50)＝×＝；P(ξ＝70)＝×＝；P(ξ＝90)＝×＝.所以ξ的分布列为：ξ1030507090P数学期望E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝.12
