(三)概率与统计1．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和期望．解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.5\n2．(2022·安徽省“皖江八校”联考)某市为制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位：百度)，将数据按照[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图：(1)求直方图中m的值；(2)设该市有100万户居民，估计全市每户居民中月均用电量不低于6百度的人数，估计每户居民月均用电量的中位数，说明理由；(3)政府计划对月均用电量在4(百度)以下的用户进行奖励，月均用电量在[0,1)内的用户奖励20元/月，月均用电量在[1,2)内的用户奖励10元/月，月均用电量在[2,4)内的用户奖励2元/月．若该市共有400万户居民，试估计政府执行此计划的年度预算．解 (1)∵1－1×(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2m，∴m＝0.15.(2)200户居民月均用电量不低于6百度的频率为0．06＋0.04＋0.02＝0.12，则100万户居民中月均用电量不低于6百度的户数有1000000×0.12＝120000；设中位数是x百度，前5组的频率之和0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以4<x<5，x－4＝，故x＝4.08.(3)该市月均用电量在[0,1)，[1,2)，[2,4)内的用户数分别为0.04×4000000＝160000，0．08×4000000＝320000，(0.15＋0.21)×4000000＝1440000，所以每月预算为160000×20＋320000×10＋1440000×2＝9280000，故一年预算为9280000×12＝111360000＝1.1136亿元．3．(2022·全国Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：5\n上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据，得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.4．(2022·宿州模拟)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087321545女546463055总计1512137845100(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？5\n(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．附公式及表如下：K2＝.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 (1)由表格数据可得2×2列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计男252045女154055总计4060100将列联表中的数据代入公式计算，得K2＝＝＝≈8.249>7.879.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关．(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P＝1－4－4＝.②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X＝300Y.由题意得Y～B，P(Y＝0)＝C04＝；5\nP(Y＝1)＝C13＝；P(Y＝2)＝C22＝＝；P(Y＝3)＝C31＝；P(Y＝4)＝C40＝.所以Y的分布列为Y01234P所以X的分布列为X03006009001200P由E(Y)＝4×＝，得X的数学期望E(X)＝300E(Y)＝400.5
