【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月压轴大题突破练1直线与圆锥曲线（一）理1.已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16及点F2(1,0)，在圆F1任取一点M，连接MF2并延长交圆F1于点N，连接F1N，过F2作F2P∥MF1交NF1于P，如图所示.(1)求点P的轨迹方程；(2)从F2点引一条直线l交轨迹P于A，B两点，变化直线l，试探究＋是否为定值.2.已知以C为圆心的动圆过定点A(－3,0)，且与圆B：(x－3)2＋y2＝64(B为圆心)相切，点C轨迹为曲线T.设Q为曲线T上(不在x轴上)的动点，过点A作OQ(O为坐标原点)的平行线交曲线T于M，N两个点.6\n(1)求曲线T的方程；(2)是否存在常数λ，使·＝λ2总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由.3.已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(，0)，A，B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A，B的动点，且△ADB面积的最大值为12.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当点P(x0，y0)在椭圆C上运动时，直线l：x0x＋y0y＝2与圆O：x2＋y2＝1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.6\n4.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线C上.(1)若直线AB过点(2p,0)，且|AB|＝4p，求过A，B，O(O为坐标原点)三点的圆的方程；(2)设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标；若不是，请说明理由.6\n答案精析压轴大题突破练11.解 (1)∵F2P∥MF1，∴＝⇒＝⇒PF1＋PF2＝4>F1F2＝2，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，其轨迹方程为＋＝1.(2)①若lAB的斜率存在时，设lAB为：y＝k(x－1)，联立＋＝1，可得：(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2<1<x1)，则∴＋＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝.②若lAB的斜率不存在时，此时lAB：x＝1，则A，B，此时＋＝＋＝.综上可知，变化直线l，则＋为定值.2.解 (1)∵A(－3,0)在圆B的内部，∴两圆相内切，∴|BC|＝8－|AC|，即|BC|＋|AC|＝8>|AB|.∴C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a＝8，a＝4，c＝3.6\n∴b2＝16－9＝7，∴曲线T的方程为＋＝1.(2)当直线MN斜率不存在时，||＝||＝，2＝7.∴·＝||·||·cosπ＝7λ，则λ＝－；当直线MN斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN：y＝k(x＋3)，则OQ：y＝kx，由得(7＋16k2)x2＋96k2x＋144k2－112＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，∴y1y2＝k2[(x1＋3)(x2＋3)]＝k2[x1x2＋3(x1＋x2)＋9]＝.·＝(x1＋3)(x2＋3)＋y1y2＝.由得7x2＋16k2x2＝112，则x2＝，∴2＝x2＋y2＝(1＋k2)x2＝，由·＝λ2，可解得λ＝－.综上，存在常数λ＝－，使·＝λ2总成立.3.解 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).由已知可得(S△ADB)max＝·2a·b＝ab＝12.①∴F(，0)为椭圆右焦点，∴a2＝b2＋7.②由①②可得a＝4，b＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)∵P(x0，y0)是椭圆上的动点，∴＋＝1，∴y＝9－.6\n∴圆心O到直线l：x0x＋y0y＝2的距离d＝＝＝<1(0≤x≤16).∴直线l：x0x＋y0y＝2与圆O：x2＋y2＝1恒有两个交点.L＝2＝2∵0≤x≤16，∴9≤x＋9≤16，∴≤L≤.4.解 (1)易知直线x＝2p与抛物线y2＝2px的两个交点的坐标分别是M(2p,2p)，N(2p，－2p)，弦长|MN|＝4p(p>0).又|AB|＝4p，且直线AB过点(2p,0)，所以△AOB是直角三角形，所以过A，B，O三点的圆的方程是(x－2p)2＋y2＝4p2.(2)设点A，B，直线AB的方程为x＝my＋b，设直线与抛物线相交.由方程组消去x，得y2－2mpy－2pb＝0，所以y1＋y2＝2mp，y1y2＝－2pb.故tan＝tan(α＋β)＝＝＝＝，即1＝＝－，所以b＝－2p－2mp，所以直线AB的方程为x＝my－2p－2mp，即x＋2p＝m(y－2p)，所以直线AB过定点(－2p,2p).6
