【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练8综合练理1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA＋cosA＝2sinB.(1)求角C的大小；(2)求的最大值.2.某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如图.(1)比较这两名队员在比赛中得分的平均值和方差的大小；7\n(2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和数学期望.3.如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；(2)求二面角B—AC—A1的余弦值.4.设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列.7\n(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；(3)∠PMQ能否为直角？证明你的结论.6.已知f(x)＝ex(x－a－1)－＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x≥0时，f(x)＋4a≥0，求正整数a的值.(参考值：e2≈7.389，e3≈20.086)7\n答案精析中档大题规范练81.解 (1)sinA＋cosA＝2sinB，即2sin＝2sinB，则sin＝sinB.因为0<A，B<π，又a≥b进而A≥B，所以A＋＝π－B，故A＋B＝，C＝.(2)由正弦定理及(1)得＝＝[sinA＋sin]＝sinA＋cosA＝2sin.当A＝时，取最大值2.2.解 (1)甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名队员的得分平均值相等；甲的方差比乙的方差大.(2)根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝，p2＝，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝，依题意，X～B，P(X＝k)＝Ck2－k，k＝0,1,2.X的分布列为7\nX012PX的数学期望E(X)＝2×＝.3.(1)证明 由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1.又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面BB1C1C.(2)解 建立如图所示的坐标系O—xyz.其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴.设AB＝2，则A(2，－1,0)，B(0，－1,0)，C(0,0，)，A1(2,1,0).＝(－2,0,0)，＝(－2,1，)，＝(0,2,0).设n1＝(x1，y1，z1)为平面ABC的法向量，则n1·＝0，n·＝0，即取z1＝－1，得n1＝(0，，－1).设n2＝(x2，y2，z2)为平面ACA1的法向量，则n2·＝0，n2·＝0，即取x2＝，得n2＝(，0,2).所以cos〈n1，n2〉＝＝－.因此二面角B—AC—A1的余弦值为－.4.解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0(舍去)或d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，7\n当n＝1时，＝；当n≥2时，＝1－－＝.∴＝，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，∴bn＝，n∈N*.∴Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋.两式相减，得Tn＝＋－＝－－，∴Tn＝3－.5.(1)解 由题设，得＋＝1，①且＝，②由①②解得a2＝6，b2＝3，椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明 记P(x1，y1)、Q(x2，y2).设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝.设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝＝7\n＝＝＝1，因此直线PQ的斜率为定值.(3)解 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1.若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意.故∠PMQ不可能为直角.6.解 (1)f′(x)＝ex(x－a)－x＋a＝(x－a)(ex－1)，由a>0，得：x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以，f(x)的增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)；减区间为(0，a).(2)由(1)可知，x≥0，f(x)min＝f(a)＝－ea＋，所以f(x)＋4a≥0，得ea－－4a≤0.令g(a)＝ea－－4a，则g′(a)＝ea－a－4；令h(a)＝ea－a－4，则h′(a)＝ea－1>0，所以h(a)在(0，＋∞)上是增函数，又h(1)＝e－5<0，h(2)＝e2－6>0，所以∃a0∈(1,2)使得h(a0)＝0，即a∈(0，a0)时，h(a)<0，g′(a)<0；a∈(a0，＋∞)时，h(a)>0，g′(a)>0，所以g(a)在(0，a0)上单调递减，在(a0，＋∞)单调递增.又因为g(1)＝e－－4<0，g(2)＝e2－10<0，g(3)＝e3－－12>0，所以a＝1或2.7
