【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练7综合练理1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且sinAsinC＝.(1)求角B的大小；(2)若x∈[0，π)，求函数f(x)＝sin(x－B)＋sinx的值域.2.2022届高三学生参加自主招生考试，某辅导学校针对自主招生计划开设a，b，c三个班，据统计，某班每位同学报名参加这三个班的概率分别为，，，并且报名参加三个班之间互不影响.(1)该班现有甲、乙、丙、丁4名同学，求这4名同学中至少有3名同学报名参加a班的概率；(2)若用X表示该班甲同学报名参加的班次，求X的分布列与数学期望.8\n3.如图所示的多面体中，ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD＝BD＝2，BF＝2DE＝2.(1)求证：AE⊥CF；(2)求二面角A—FC—E的余弦值.8\n4.数列{an}的前n项和为Sn，且点(n，Sn)在函数f(x)＝3x2－2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<对所有的n∈N*都成立的最小值m.5.已知函数f(x)＝alnx＋bx，且f(1)＝－1，f′(1)＝0，(1)求f(x)；(2)求f(x)的最大值；(3)若x>0，y>0，证明：lnx＋lny≤.8\n6.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)过点P的直线与椭圆交于两点D、E，若DP＝PE，求直线DE的方程；(3)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.答案精析中档大题规范练71.解 (1)因为a，b，c成等比数列，则b2＝ac.由正弦定理得sin2B＝sinAsinC.又sinAsinC＝，所以sin2B＝.因为sinB>0，则sinB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝或.又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝.(2)因为B＝，则f(x)＝sin＋sinx8\n＝sinxcos－cosxsin＋sinx＝sinx－cosx＝sin.因为x∈[0，π)，则－≤x－<，所以sin∈.故函数f(x)的值域是.2.解 (1)记“这4名同学中至少有3名同学报名参加a班”为事件M，则P(M)＝C3＋C40＝.(2)记“甲同学报名参加a班”为事件A，“甲同学报名参加b班”为事件B，“甲同学报名参加c班”为事件C，由条件可知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝P()＝××＝，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3.(1)证明 方法一 在△AEF中，AE＝，EF＝，AF＝2，∴AE2＋EF2＝AF28\n，∴AE⊥EF.在△AEC中，AE＝，EC＝，AC＝2，∴AE2＋EC2＝AC2，∴AE⊥EC.又∵EF∩EC＝E，∴AE⊥平面ECF，又∵FC⊂平面ECF，∴AE⊥FC.方法二 ∵ABCD是菱形，AD＝BD＝2，∴AC⊥BD，AC＝2.∵ED⊥平面ABCD，BD＝2，BF＝2DE＝2，故可以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(，0,0)，E(0，－1，)，C(－，0,0)，F(0,1,2)，∴＝(－，－1，)，＝(，1,2).∴·＝(－，－1，)·(，1,2)＝－3－1＋4＝0.∴AE⊥CF.(2)解 由(1)知A(，0,0)，C(－，0,0)，F(0,1，2)，E(0，－1，)，则＝(－，1,2)，＝(－2，0,0)，＝(0,2，)，＝(－，1，－)，设平面AFC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).由·n1＝0，·n1＝0，得－x1＋y1＋2z1＝0且－2x1＝0，令z1＝1，得n1＝(0，－2，1).设平面EFC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由·n2＝0，·n2＝0，得2y2＋z2＝0且－x2＋y2－z2＝0，令y2＝－1，得n2＝(－，－1，).设二面角A—FC—E的大小为θ，则cosθ＝＝＝.8\n即二面角A—FC—E的余弦值为.4.解 (1)因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5(n∈N*).(2)由(1)得知bn＝＝＝，故Tn＝bi＝[＋＋…＋]＝.因此，要使<(n∈N*)成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥30，所以满足要求的最小值m为30.5.(1)解 由b＝f(1)＝－1，f′(1)＝a＋b＝0，∴a＝1，∴f(x)＝lnx－x为所求.(2)解 ∵x>0，f′(x)＝－1＝，x0<x<1x＝1x>1f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘∴f(x)在x＝1处取得极大值－1，即所求最大值为－1.(3)证明 由(2)得lnx≤x－1恒成立，∴lnx＋lny＝＋≤＋＝成立.6.解 (1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2；又点A在椭圆上，因此＋＝1.得b2＝1，于是c2＝3；8\n所以椭圆C的方程为＋y2＝1，焦点F1(－，0)，F2(，0).(2)∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，∴设D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入椭圆C的方程得x＋4y－4＝0，x＋4y－4＝0，相减得2(x1－x2)＋4×2×(y1－y2)＝0，∴斜率为k＝－1.∴DE方程为y－＝－(x－1)，即4x＋4y－5＝0.(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my＝x－1，代入椭圆C的方程得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，且Δ>0成立.又S△OMN＝|y1－y2|＝×＝，设t＝≥，则S△OMN＝，′＝1－t－2>0对t≥恒成立，∴t＝时，t＋取得最小，S△OMN最大，此时m＝0，∴MN方程为x＝1.8
