(二)数 列1．(2022·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.解 (1)因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝a＋3an＋2.①当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，②①－②得6an＝a＋3an－a－3an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝3，又因为a1＝1，所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，所以an＝3n－2(n∈N*)．(2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝.6\n又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N*)．所以＝＝·＝·，所以Tn＝·＝·，＝.6\n2．(2022·葫芦岛模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3，，S4成等差数列，a5＝3a2＋2a1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2n－1，求数列的前n项和Tn.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3，，S4成等差数列，可知S3＋S4＝S5，得2a1－d＝0，①由a5＝3a2＋2a1－2，②得4a1－d－2＝0，由①②，解得a1＝1，d＝2，因此，an＝2n－1(n∈N*)．(2)令cn＝＝(2n－1)n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn，∴Tn＝1·1＋3·＋5·2＋…＋(2n－1)·n－1，③Tn＝1·＋3·2＋5·3＋…＋(2n－1)·n，④③－④，得Tn＝1＋2－(2n－1)·n＝1＋2－(2n－1)·n＝3－，∴Tn＝6－(n∈N*)．3．(2022·厦门质检)已知等差数列{an}满足(n＋1)an＝2n2＋n＋k，k∈R.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)方法一 由(n＋1)an＝2n2＋n＋k，令n＝1,2,3，得到a1＝，a2＝，a3＝，∵{an}是等差数列，∴2a2＝a1＋a3，6\n即＝＋，解得k＝－1.由于(n＋1)an＝2n2＋n－1＝(2n－1)(n＋1)，又∵n＋1≠0，∴an＝2n－1(n∈N*)．方法二 ∵{an}是等差数列，设公差为d，则an＝a1＋d(n－1)＝dn＋(a1－d)，∴(n＋1)an＝(n＋1)(dn＋a1－d)＝dn2＋a1n＋a1－d，∴dn2＋a1n＋a1－d＝2n2＋n＋k对于∀n∈N*均成立，则解得k＝－1，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)由bn＝＝＝＝1＋＝1＋＝＋1，得Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋1＋＋1＋＋1＋…＋＋1＝＋n＝＋n＝＋n＝(n∈N*)．4．(2022·天津河东区模拟)已知等比数列{an}满足条件a2＋a4＝3(a1＋a3)，a2n＝3a，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足＋＋…＋＝n2，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.解 (1)设{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)，由已知a2＋a4＝3(a1＋a3)，得a1q＋a1q3＝3(a1＋a1q2)，所以q＝3.又由已知a2n＝3a，得a1q2n－1＝3aq2n－2，所以q＝3a1，6\n所以a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．(2)当n＝1时，＝1，b1＝1，当n≥2时，＋＋…＋＝n2，①所以＋＋…＋＝(n－1)2，②由①－②得＝2n－1，所以bn＝(2n－1)3n－1，b1＝1也符合，综上，bn＝(2n－1)3n－1(n∈N*)．所以Tn＝1×30＋3×31＋…＋(2n－3)3n－2＋(2n－1)·3n－1，①3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，②由①－②得－2Tn＝1×30＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝1×30＋2×3×－(2n－1)·3n＝1＋3n－3－(2n－1)3n＝(2－2n)3n－2，所以Tn＝1＋(n－1)3n(n∈N*)．5．(2022·宿州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2.(1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Kn.解 (1)由Tn＝2Sn－n2，得a1＝S1＝T1＝2S1－1，解得a1＝S1＝1，由S1＋S2＝2S2－4，解得a2＝4.当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－2Sn－1＋(n－1)2，即Sn＝2Sn－1＋2n－1，①Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②由②－①得an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)，又a2＋2＝2(a1＋2)，∴数列{an＋2}是以a1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋2＝3·2n－1，即an＝3·2n－1－2(n∈N*)．6\n(2)∵bn＝3n·2n－1－2n，∴Kn＝3(1·20＋2·21＋…＋n·2n－1)－2(1＋2＋…＋n)＝3(1·20＋2·21＋…＋n·2n－1)－n2－n.记Rn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，③2Rn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，④由③－④，得－Rn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Rn＝(n－1)·2n＋1.∴Kn＝3(n－1)2n－n2－n＋3(n∈N*)．6
