专题54抛物线几何性质的应用很关键考纲要求:1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．3．掌握抛物线的简单几何性质,理解数形结合的思想．基础知识回顾:1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的______.答案：相等焦点准线18\n＋x0－x0＋y0－y0图12．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．应用举例:类型一、求抛物线的标准方程【例1】已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若（其中点位于、之间），且，则此抛物线的方程为（）．A.B.C.D.【答案】C【例2】【2022届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为A.B.C.D.【答案】C18\n【例3】【2022届北京市昌平区高三第二次统一练习】双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为____________.【答案】【解析】，渐近线方程为，，双曲线右焦点为，即，抛物线准线方程为，故答案为，.点评：1、求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．2、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．类型二、抛物线的焦点弦问题1、焦点弦的弦长问题【例4】【2022届甘肃省兰州第一中学高三上9月月考】已已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，因为点在第一象限且，所以，联立，得，则18\n，解得，即直线的斜率为；故选A.点评：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2、焦点弦中距离之和最小【例5】【2022课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A3、焦点三角形问题【例6】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )18\nA.B.C.D．2解析：如图，设A(x0，y0)，不妨设y0＜0，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x＝－1，故|AF|＝x0－(－1)＝3，可得x0＝2，y0＝－2，故A(2，－2)，直线AB的斜率为k＝＝－2，直线AB的方程为y＝－2x＋2，联立直线与抛物线方程，可得2x2－5x＋2＝0，得x＝2或x＝，所以B点的横坐标为，可得|BF|＝－(－1)＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝，O点到直线AB的距离为d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝.答案：C类型三、与抛物线有关的最值问题1、动弦中点到坐标轴距离最短问题【例7】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )A. B.C．1D．2解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.2、到焦点与定点距离之和最小问题【例8】【2022届黑龙江省佳木斯市第一中学高三下第三次模拟】为抛物线上任意一点，在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为__________．【答案】3、到点与准线的距离之和最小问题【例9】已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦18\n点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.4、到直线与准线的距离之和最小问题【例10】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是.【答案】2【解析】试题分析：设抛物线上的一点的坐标为，则到直线的距离；5、到定直线的距离最小问题【例11】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．图4解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，图2故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝018\n距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．方法、规律归纳:1、与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．图12．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．实战演练:1．【2022届山东省青岛市高三期初】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若，则（）18\nA.B.C.D.【答案】D∴x1+x2=10，又x1x2==9，可得x1=9，x2=1，则，故选：D．2．【2022届河南省郑州市第一中学高三上入学】已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B3．【2022届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A18\n【解析】由题意得，当，则，又因为，则4．【2022届天津市十二重点中学高三第二次联考】已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】B5．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6，)，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.8B.C.10D.【答案】B【解析】选B.依题意可知焦点F(0，)，准线为y＝－，延长PM交准线于H点(图略)．则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．18\n因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－＝.故选B.6.【2022届福建省莆田第六中学高三下期中】已知点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，则的最小值为（）A.B.C.3D.4【答案】C7．【2022届湖南省长沙市长郡中学高三5月模拟】已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，直线，代入可得，设，则，由抛物线的定义可得，所以，故令18\n，令，则，所以，应选答案A.8．【2022届山西省太原市高三第三次模拟】已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A9．【2022届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】抛物线的焦点到直线的距离为5，则__________．【答案】6【解析】由题意可得，∴.填6.18\n10．【2022届湖南省衡阳市第八中学高三上第三次月考】已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________.【答案】【解析】由题意可得且|DF|=p，可得|BF|=，从而|AF|=，由抛物线的定义可得A到准线的距离也为，又△ABC的面积为，可得，解得p=8，则抛物线的方程为y2=16x．11．【2022届四川省成都市第七中学高三上学期半期】已知抛物线上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则________.【答案】218\n12．【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．【答案】613．【2022届河南省新乡市第一中学高三8月月考】若一个圆的圆心是抛物线18\n的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程是____________.【答案】【解析】由抛物线方程可知其焦点为，与所给直线的距离为，即为圆的半径．则圆的标准方程为．故本题填．14.【2022课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为.或直线的方程为，圆的方程为.【解析】18\n所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.15.【2022北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；18\n（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明.16.【2022浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，18\n，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是，因为|PA|==18\n|PQ|=，所以|PA||PQ|=18
