专题29四法破解平面向量的数量积考纲要求:1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．基础知识回顾:1.平面向量数量积(1)平面向量数量积的定义:若两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．向量数量积的运算律:(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．4．平面向量数量积的重要性质：(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0 ；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| ，a·a＝a2，|a|＝；(4)cosθ＝；(5)|a·b|≤|a||b|.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝＝.(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.应用举例:类型一、平面向量的数量积的运算【例1】【2022大连市一中高三摸底考试】设向量＝(－1,2)，＝(m,1)，如果向量＋2与2－11\n平行，那么与的数量积等于( )A．－ B．－C.D.【答案】D【解析】 ＋2b＝(－1＋2m,4)，2－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以·＝－1×＋2×1＝.【例2】【广西贺州市桂梧高中2022届高三上学期第四次联考】设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A.B.C.D.【答案】A【例3】在平行四边形中，，，，点在边上，且，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，，，，11\n故选D类型二、平面向量的数量积的性质平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有：角度一：平面向量的模；【例4】【云南省曲靖市第一中学2022届高三高考复习质量监测】在矩形中，，，为矩形内部一点，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，画图分析可知的范围是,故填.【例5】【2022江苏省苏州市高三摸底】向量，，．【答案】【例6】【全国名校大联考2022-2022年度高三第二次联考】已知的三边垂直平分线交于点，分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】如图，延长交的外接圆与点，连接，则所以,又,11\n把代入得,又，所以,把代入得的取值范围是.点睛:平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．角度二：平面向量的夹角；【例7】【豫西南部分示范性高中2022-2022年高三年级第一学期联考】已知非零向量满足且，则向量与的夹角为__________．【答案】【例8】【2022河南省天一大联考】已知，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意有，解得.角度三：平面向量的垂直．【例9】【新疆兵团农二师华山中学2022届高三上学期学前考试数学（理）试题】向量满足，11\n，，则向量与的夹角为．【答案】【解析】向量与的夹角为．【例10】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．【答案】.类型三、数量积解三角形【例11】【2022江苏省南京市高三调研】在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，＝．若·＝3，则AC的长是．【答案】【解析】由已知，设，则，又，所以，，则在中，．【例12】【2022河南郑州一中高三月考】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.11\n(1)求角B的大小；(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．【答案】B＝.方法、规律归纳:1.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．（2）两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.②|a±b|＝＝.③若a＝(x，y)，则|a|＝.实战演练:1．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（）A.B.C.D.【答案】A11\n2．【安徽省十大名校2022届高三11月联考】如图，在四边形中，已知，，则（）A.64B.42C.36D.28【答案】C【解析】由,解得，同理，故选C.点睛：本题主要考查了平面的运算问题，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的数量积的运算公式，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，解答中熟记平面的数量积的运算和平面向量的化简是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.3．【福建省福清市校际联盟2022届高三上学期期中考试】已知正方形的边长为3，为线段靠近点的三等分点，连接交于，则（）11\nA.-9B.-39C.-69D.-89【答案】C4．【河南省天一大联考2022届高三上学期阶段性测试】已知在等边三角形中，，，则（）A.4B.C.5D.【答案】D【解析】由条件知M，N是BC的三等分点，故展开得到，等边三角形中，任意两边夹角为六十度，所有边长为3，，，代入表达式得到。故答案为D。5．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2022届高三10月月考】在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选：C6．【黑龙江省齐齐哈尔地区八校2022届高三期中联考】在矩形中，，，11\n，点在边上，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C7．【北京市海淀区2022届高三上学期期中考试】已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】向量错误；错误；错误；，正确，故选D.8．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2022届高三上学期期中联考】如图，在半径为的圆中，已知弦的长为，则（）11\nA.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由于为半径，圆心，为弦，故在上的投影为考点：平面向量的数量积9．【2022山东省枣庄八中高三月考】已知，，．（1）求向量与的夹角θ；（2）求及向量在方向上的投影．【答案】；10．【2022河南郑州一中高三月考】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若，求△ABC的面积．【答案】θ＝.；.3.【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.11\n11
