第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题一、选择题1.函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为( )A.(－1，1]B.(0，1]C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1].答案 B2.(2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是( )A.[－1，1]B.[－1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1]解析 f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x＞0恒成立，∴m≥－＋.令g(x)＝－＋，则当＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1.故m≥1.答案 C3.(2022·临沂模拟)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )A.[0，1)B.(－1，1)C.D.(0，1)解析 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a).当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋).当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f(x)单调递减，所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.答案 D4.(2022·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A.－1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2，8)在曲线y＝f(x)上5\n解析 A正确等价于a－b＋c＝0，①B正确等价于b＝－2a，②C正确等价于＝3，③D正确等价于4a＋2b＋c＝8.④下面分情况验证：若A错，由②、③、④组成的方程组的解为符合题意；若B错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由①、②、④组成方程组，经验证a无整数解；若D错，由①、②、③组成的方程组a的解为－也不是整数.综上，故选A.答案 A5.(2022·潍坊模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式ex·f(x)＞ex＋1的解集为( )A.{x|x＞0}B.{x|x＜0}C.{x|x＜－1，或x＞1}D.{x|x＜－1，或0＜x＜1}解析 构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数.又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.答案 A二、填空题6.(2022·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析 ∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有′|＝－＝－1，5\n又∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1).答案 (1，1)7.若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1在R上单调递增，则a的取值范围是________.解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2).由题意知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)≤0，解得－1≤a≤2.答案 [－1，2]8.(2022·衡水中学期末)若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝＝－.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.答案 (0，1)∪(2，3)三、解答题9.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解 (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知，得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2]，[－ln2，＋∞)上单调递增，在[－2，－ln2]上单调递减.当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2).5\n10.(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)，讨论函数g(x)的单调性.解 (1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，得a≤.记t(x)＝，当x≥1时，t(x)是增函数，所以t(x)min＝(1－1)＝0.所以a≤0.(2)g′(x)＝，x∈(－1，＋∞).当k＝0时，g′(x)＝－，所以在区间(－1，0)上，g′(x)＞0；在区间(0，＋∞)上，g′(x)＜0.故g(x)的单调递增区间是(－1，0]，单调递减区间是[0，＋∞).当0＜k＜1时，由g′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝＞0，所以在区间(－1，0)和上，g′(x)＞0；在区间上，g′(x)＜0.故g(x)的单调递增区间是(－1，0]和，单调递减区间是.当k＝1时，g′(x)＝＞0，故g(x)的单调递增区间是(－1，＋∞).当k＞1时，g′(x)＝＝0，得x1＝∈(－1，0)，x2＝0，所以在区间和(0，＋∞)上，g′(x)＞0，在区间上，g′(x)＜0.故g(x)的单调递增区间是和[0，＋∞)，单调递减区间是.11.(2022·山东卷)设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数).(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围.解 (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞).5\nf′(x)＝－k＝－＝.由k≤0可得ex－kx＞0，所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为[2，＋∞).(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞).因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，当0＜k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增.故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈(0，lnk)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减.x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增.所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk).函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当解得e＜k＜，综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.5
