专题30平面向量的几何运算与坐标运算考纲要求:1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．基础知识回顾:1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.应用举例:类型一、平面向量的线性运算【例1】【河北省武邑中学2022届高三上学期第二次调研】在直角三角形中，角为直角，且9\n，点是斜边上的一个三等分点，则（）A.0B.4C.D.【答案】B【例2】【2022浙江省金华、丽水等十二校高三联考】已知，，为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个9\n【答案】C.【例3】【2022浙江省温州市高三月考试题】如图，矩形中，，，，分别为线段，上的点，且满足，若，则的最小值为_______．【答案】.9\n类型二、平面向量的坐标运算【例4】【2022江苏泰兴中学高三月考】若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为( )A.a＋b B．－a－bC.a＋bD.a－b【答案】A【解析】设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.【例5】【贵州省黔东南州2022届高三上学期第一次联考】若向量，则（）A.-36B.36C.12D.-12【答案】D【解析】根据数量积定义知：，故选D.【例6】【贵州省黔东南州2022届高三上学期第一次联考】已知向量，，且，则向量的坐标为（）A.B.9\nC.或D.或【答案】C方法、规律归纳:1.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．（2）两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.②|a±b|＝＝.③若a＝(x，y)，则|a|＝.实战演练:1．【广东省兴宁市沐彬中学2022届高三上第二次月考】设若，则m=（）A.0B.-3C.D.-7【答案】D【解析】由题意可得，选D.2．【西北师大附中2022届一调】已知向量（）A.-3B.2C.3D.-2【答案】A【解析】,选A.9\n3．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B4．【河北省武邑中学2022届高三上学期第二次调研】已知向量，，则向量与的夹角为()A.135°B.60°C.45°D.30°【答案】C【解析】由题意可得：，则：，且，设所求解的向量的夹角为，由题意可得：，则：向量与的夹角为45°.本题选择C选项.5．已知（）9\nA.B.C.－D.【答案】B6．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则等于A.B.C.D.【答案】D【解析】由于点O是边长为1的等边△ABC的中心，D为BC的中点，，，两两夹角为120°．所以．所以。故选D．7．分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由解得.故选C.9\n点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.8．【江西省赣州市崇义中学2022届高三上学期第二次月考】长方形ABCD中，，E为CD的中点，则___________.【答案】-19．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022届高三10月月考】已知向量，．若，则实数的值为________．【答案】【解析】向量，，，解得，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标表示、向量垂直的性质及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9\n10．【江苏省泰州中学2022届高三10月月考】已知向量，则和的夹角等于__________．【答案】9
