专题52椭圆方程多结合其几何性质考查考纲要求:1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 2.了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想．基础知识回顾:一、椭圆的定义二、椭圆的标准方程和几何性质三、直线与椭圆的位置关系21\n1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.应用举例:类型一、椭圆定义的应用【例1】【2022届云南省师范大学附属中学高三月考二】点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1,F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=600，且ΔF1PF2的三条边|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A.45B.34C.23D.12【答案】D【例2】【2022届福建省闽侯第六中学高三上学期第一次月考】已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（）A.1B.C.D.【答案】D21\n点评：(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．类型二、椭圆标准方程的求法【例3】【2022届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，选B.点评：求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．类型三、椭圆的焦点三角形问题【例4】为椭圆上一点，为左右焦点，若，则的面积为.解析：由椭圆方程可知，，∵点在椭圆上，为椭圆的左右焦点，∴，设，则，解得，所以的面积为．所以答案应填：．【例5】【2022届重庆市第一中学高三上期中】已知点是椭圆上一点，21\n分别为的左、右焦点，，，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.【答案】(1)；(2)直线的方程为.（2）①当直线的斜率为0时，则；②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，将代入，整理得，则，，又，，21\n点评：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．(2)对△F1PF2的处理方法⇔类型四、椭圆的离心率问题【例6】【2022届山西省山大附中等晋豫名校高三第四次调研诊断】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由于，则，，21\n，，，，，，，，则，选C.【例7】【2022届四川省成都市新津中学高三11月月】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【例8】【2022届南宁市届高三毕业班摸底】已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M-4,1，则椭圆的离心率是（）A.12B.22C.32D.5521\n【答案】C【解析】设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM=-b2a2kxM,代入k=1,M(-4,1),解得b2a2=14,e=1-(ba)2=32，选C.点评：求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a，b的关系：e2＝⇒＝。类型五、直线与椭圆的位置关系【例9】【2022届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程.【答案】（1）（2）21\n点评：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．类型六、与椭圆有关的最值问题【例10】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________解析：由椭圆的方程化为，可得，∴．如图所示．∵，∴．当且仅当三点共线时取等号．∴的最小值为．【例11】【2022届四川省成都市第七中学高三上半期】已知椭圆：的左、右焦点分别为且离心率为，为椭圆上三个点，的周长为，线段21\n的垂直平分线经过点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段长度的最大值.【答案】(1)；(2)4.（2）当斜率不存在时，最大值为当斜率存在时，设：联立与得：，中点坐标为因为的垂直平分线经过点，所以（若为0，则中垂线为轴，这与题21\n方法、规律归纳:1、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：(1)求出a，c代入公式e＝；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2、利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F1PF2)21\n(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ；(3)当P为短轴端点时，θ最大．(4)S＝|PF1||PF2|sinθ＝·b2＝b2tan＝c·|y0|.当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).实战演练:1.【2022届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A2.【2022届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，在轴上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（）A.B.3C.D.6【答案】D【解析】轴，在轴上的截距为1，则，，则，21\n，，，，，，.选D.3.【2022届河南省中原名校高三第三次质量考评】已知点是椭圆上的一点，，是焦点，若取最大时，则的面积是（）A.B.C.D.【答案】B4．【2022届浙江省温州市高三9月】正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.(5-12,1)B.(0,5-12)C.(3-12,1)D.(0,3-12)【答案】B【解析】设正方体的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上，∴m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2=e2+e21-e2，e4-3e2+1≥0，e2≤3-52=5-122,∴0<e<5-12，故选B.5．【2022届贵州省贵阳市第一中学高三上月考（一）】设直线x=a2与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点，若ΔOAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.63D.12【答案】C21\n【解析】x=a2代入椭圆方程得y=±32b，32b=a2⇒3(a2-c2)=a2⇒ca=63，故选C.6．【2022届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷（1）】已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率（）A.B.C.D.【答案】A7．【2022届山东省淄博市淄川中学高三上学期开学】已知点是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A.2B.C.0D.1【答案】A【解析】椭圆，即为，则椭圆的，则由为的中线，即有，则，可设，则，即有，当时，取得最小值，则的最小值为，故选A.8．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则|21\n|＋||的最大值为_______解析：由椭圆方程可知，两焦点坐标，由椭圆定义可得，结合三角形三边关系可知，所以，最大值为159．已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．10.【2022届天津市实验中学高三上期中】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.21\n（3）当直线垂直于轴时，，因此的面积.当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，解得，，则，又点到直线的距离，∴的面积于是21\n由，得，其中，当时，等号成立.∴的最大值是.11.【2022届福建省福州市第一中学高三上学期期中】已知是椭圆的左右焦点，O为坐标原点，在椭圆上，线段与轴的交点满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于两点，，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）由得，且有，且有21\n因为，得，即化简得：满足，，点到直线的距离，所以（定值）.12.【2022届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且过点(2,62).（1）求椭圆E的方程；（2）若点A,B分别是椭圆E的左右顶点，直线l经过点B且垂直与轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP交l于点M.①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；②设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）x24+y23=1；（2）k1k2=-32，(-1,0).21\n13．【2022届江苏省徐州市高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0)，离心率为12，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.【答案】（1）x24+y23=1（2）y=0,y=±34(x+2)21\n【解析】试题分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解得a,b（2）先设直线方程（点斜式），与椭圆方程联立解得B点坐标，由AC与BC垂直，以及AC=BC解出C点纵坐标，得关于k的二次方程，即得直线方程试题解析：（1）由题意可得：a=2e=12，即a=2ca=12，从而有b2=a2-c2=3，所以椭圆E的标准方程为：x24+y23=1．14．【2022届北京房山高三上期末】已知两定点，，曲线上的动点满足，直线与曲线的另一个交点为．（Ⅰ）求曲线的标准方程；21\n（Ⅱ）设点，若，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知直线不垂直于轴，也不与轴重合或平行．设，，直线方程为，其中．由，得．解得或．依题意，．因为，所以，则．21\n21
