专题20破解定积分的简单应用（理）考纲要求:1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化.基础知识回顾:1、曲边梯形的定义我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法：分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限3、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式。【注】（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：4．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：-14-\n性质1（定积分的线性性质）；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分对积分区间的可加性）5．定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。（4）图中阴影部分的面积S=6、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么-14-\n，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。计算定积分的关键是找到满足的函数。7、公式（1）（2）（3）(4)(5)；(6)8、定积分的简单应用（1）在几何中的运用：计算图形的面积方法：画图→定域→分割面积→用定积分表示面积→计算（2）在物理中的应用:9、求定积分的方法(1)数形结合利用面积求（2）利用微积分基本原理求应用举例:类型一、定积的计算【例1】【2022西四校联考】定积分|x2－2x|dx＝( )A．5B．6C．7D．8【答案】D-14-\n【解析】|x2－2x|＝|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.【例2】设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．【答案】【例3】(2022·江西高考)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝x3＝－＝，S2＝lnx＝ln2<lne＝1，S3＝ex＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<S1<S3.类型二、利用定积分求曲边梯形的面积【例4】如图，阴影部分面积是（）A.-14-\nB.C.D.【答案】C【解析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．【例5】【2022河北衡中三模】由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A.B.＋C.D.＋1【答案】B-14-\n类型三、定积分与几何概型图3【例6】【2022贵州省贵阳市质检】设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图像所围成的阴影部分为，任取，则点恰好落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．【答案】C-14-\n【例6】【2022山西省长治二中等四校高三联考】若任取x，y∈[0,1]，则点P(x，y)满足y≤的概率为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，∵满足题意的图形的面积S1＝xdx＝x＝，∴所求概率P＝＝.点评：与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.类型四、定积分在物理学中的应用【例7】一物体沿直线做运动，其速度和时间的关系为，在到-14-\n时间段内该物体行进的路程和位移分别是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【例8】一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_____焦．【答案】36【解析】由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx＝5×2＋＝10＋＝36(焦)．点评：1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)dt.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)dx.方法、规律归纳:1、用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法．2、用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f′(x)＝f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．3、利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．-14-\n4、利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．实战演练:1．（）A.B.C.D.【答案】A所以故选：A.2．曲线与直线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D。3．由曲线y=x2，y2=x所围成图形的面积为（ ）A.13-14-\nB.12C.23D.32【答案】A4．如图所示，阴影部分的面积为（）A.B.1C.-14-\nD.【答案】B5．如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为（）A.1B.C.2D.【答案】D-14-\n7．已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A.B.-14-\nC.D.【答案】B8．计算（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由定积分的几何意义知：表示的面积，即半径为2的圆的，故，，所以，故选B.9．已知a=01xdx，b=01xdx，c=01x2dx，则a，b，c的大小关系是（）A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【答案】A-14-\n10．汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是()A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选C.-14-
