专题5.1平面向量的概念及线性运算【考纲解读】内容要求备注A B C 平面向量平面向量的概念 √ 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．平面向量的加法、减法及数乘运算 √ 【直击考点】题组一常识题1．化简(的结果是________．【解析】原式＝2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则x＝______________．【解析】由2－(b＋c－3x)＋b＝0，得x－a－b－c＋b＝0，即x＝a－b＋c，所以x＝a－b＋c.3．a表示向东走1km，b表示向南走1km，则a＋b表示向________方向走________km.【解析】易知a＋b表示向东南方向走km.4．已知M是△ABC的边BC上的中点，＝a，＝b，则＝________．7\n【解析(a＋b)．题组二 常错题5．若四边形ABCD满足，则四边形ABCD的形状是________．【解析】，所以四边形ABCD是梯形．6．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，且b是非零向量，则a与c的关系是________．【解析】由共线向量的概念知，向量a与向量c共线．注意：若b是零向量，则向量a与向量c的关系不确定．7．已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝3，则|a＋b|的取值范围是________．题组三 常考题8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则________.【解析】因为D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以.9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．【解析】因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以解得λ＝t＝.【知识清单】考点1向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．7\n考点2平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.考点3共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa..【考点深度剖析】本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主．【重点难点突破】考点1向量的有关概念【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则＝是四边形7\n为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为________.【答案】3【1-2】给出下列命题：①的充要条件是且；②若向量与同向，且，则；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑥任一向量与它的相反向量不相等．其中真命题的序号是________．【答案】⑤【解析】①当与是相反向量时，满足且，但≠，故①假；②向量不能比较大小，故②假；③与任意向量平行，故③假；④当与中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；⑤由相等向量定义知，⑤真；⑥的相反向量仍是，故⑥假．【思想方法】(1)7\n准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．(2)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【温馨提醒】忽略与0的区别，把零向量误写成0而致误．考点2平面向量的线性运算在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝，＝＋λ，则λ等于________.【答案】【2-2】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.【答案】=a＋b,a＋b，＝a－b.【解析】＝a－b，＝＝a－b，7\n＝a＋b，＝a＋b，＝＋＝＝a＋b，＝a－b.【思想方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【温馨提醒】注意向量运算的几何意义考点3共线向量【3-1】在中，分别为的中点，相交于点，设，试用表示.【答案】【3-2】已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在________.【答案】AC边所在直线上7\n【解析】由得，∴.则为共线向量，又有一个公共点三点共线，即点在直线上．【思想方法】1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；2.若不共线，则的充要条件是；这一结论是解决求参数问题的重要依据；3.若，则三点共线.【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a≠0”这一条件【易错试题常警惕】向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。(2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个。(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合。7
