专题5.1平面向量的概念及线性运算【基础巩固】1．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为________．【答案】2【解析】由题知结果为零向量的是①④.2．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个．【答案】3【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个．3．(必修4P62练习4)点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.【答案】 －4．设a是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论：①a与λa的方向相反；②a与λ2a的方向相同；③|－λa|≥|a|；④|－λa|≥|λ|·a.其中正确的是________(填序号)．【答案】②5．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝________.5\n【答案】【解析】由题干图知＋＋＝＋＋＝＋＝.6．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是________．【答案】3【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.7．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝________(用表示)．【答案】4【解析】＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.8．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝________(用b，c表示)．【答案】b＋c9．向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．【答案】④【解析】由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．10．(2022·镇江期末)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．5\n【答案】－1【解析】∵＝a＋b，＝a－2b，∴＝＋＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴，共线．设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.11．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，A＝b，则A＝________(用a，b表示)．【答案】a＋b【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.12．(2022·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.【答案】 －【能力提升】13．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则下列结论：①点P在线段AB上；②点P在线段AB的反向延长线上；③点P在线段AB的延长线上；④点P不在直线AB上．5\n其中正确的是________(填序号)．【答案】②【解析】因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．14．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________(从“外心”“内心”“重心”“垂心”中选填一个)．【答案】内心【解析】作∠BAC的平分线AD.∵＝＋λ，∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·，∴∥.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．15．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.【答案】35\n16．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．【答案】直角三角形【解析】＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．5
