第五章 平面向量第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.[2021惠州市模拟]正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=( )A.12AB+12ADB.-12AB-12ADC.12AB-12ADD.-12AB+12AD2.[2021山东新高考模拟]已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F3,则F3=( )A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,1)3.[2021广西模拟]已知向量a=(k,1)与b=(4,k),则“k=±2”是“a·b共线且方向相反”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.[2021哈尔滨六中模拟]如图5-1-1,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,若AB=mAM,AN=nAD(m>0,n>0),则1m+n的最小值为( )A.22B.1C.22D.2图5-1-15.[2021洛阳市统考]如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)方向相同,那么实数k的值为 . 6.[2020唐山市模拟]已知|a|=5,b=(2,1),且a∥b,则向量a的坐标是 . 7.[2020南昌市三模]如图5-1-2,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若CG=λCD+μCB(λ,μ∈R),则λμ= . 图5-1-28.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OA·OB=0,存在实数λ,μ满足OC+λOA+μOB=0,则实数λ,μ的关系为( )A.λ2+μ2=1B.1λ+1μ=1\nC.λμ=1D.λ+μ=19.[角度创新]在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是线段DE上的点,且FC=78AB+14AD,则( )A.FD=2EFB.EF=2FDC.FD=3EFD.EF=3FD10.[2021河北六校第一次联考]已知点O是△ABC内一点,且满足OA+2OB+mOC=0,S△AOBS△ABC=47,则实数m的值为( )A.-4B.-2C.2D.411.[2021哈尔滨三中二模]已知△ABC中,长为2的线段AQ为BC边上的高,满足ABsinB+ACsinC=AQ,H为AC上一点且AH=12AC,则BH=( )A.477B.47C.433D.2712.[2021山东部分重点中学第一次综合测试]如图5-1-3,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=mAC+12AB,若△ABC的面积为23,则|AP|的最小值为( )A.2B.3C.3D.43图5-1-313.[2020百校联考]如图5-1-4所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满足c=xa+yb,且(ka-b)·c=0,则x+yk= . 图5-1-4答案第五章 平面向量第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.C 解法一 因为点E是DC的中点,所以EC=12DC=12AB.因为点F是BC的中点,所以CF=12CB=-12AD.所以EF=EC+CF=12AB-12AD,故选C.\n图D5-1-3解法二 如图D5-1-3,连接BD,因为点E,F分别是DC,BC的中点,所以EF=12DB=12(AB-AD)=12AB-12AD,故选C.2.A 由题意可知F1+F2+F3=0⇒F3=-(F1+F2)=(1,-5).3.B 由a=(k,1),b=(4,k),且a,b共线,得k2-4=0,解得k=±2.当k=2时,a=(2,1),b=(4,2),a,b共线且方向相同;当k=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b共线且方向相反.∴“k=±2”是“a,b共线且方向相反”的必要不充分条件.故选B.4.D 由题意知AO=12AB+12AD=12mAM+12nAN,因为M,O,N三点共线,所以12m+12n=1,则1m+n=(12m+12n)(1m+n)=12×(1+1+mn+1mn)≥12×(2+2mn×1mn)=2,当且仅当m=n=1时取“=”,故选D.5.2 解法一 因为向量a与b方向相同,所以(k,1)=λ(6,k+1)(λ>0),所以k=6λ,1=λ(k+1),解得k=-3,λ=-12(舍去)或k=2,λ=13.解法二 由题意知a∥b,所以k(k+1)-1×6=0,解得k=2或k=-3,但当k=-3时,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,两个向量方向相反,所以k=2.6.(25,5)或(-25,-5) 因为b=(2,1),所以|b|=5,又|a|=5,a∥b,所以a=5b或a=-5b,所以向量a的坐标为(25,5)或(-25,-5).7.12 由题图可设CG=xCE(0<x<1),则CG=x(CB+BE)=x(CB+12CD)=x2CD+xCB.因为CG=λCD+μCB,CD与CB不共线,所以λ=x2,μ=x,所以λμ=12.8.A 解法一 取特殊点,取C为优弧AB的中点,此时由平面向量基本定理易得λ=μ=22,只有选项A符合.故选A.解法二 依题意得|OA|=|OB|=|OC|=1,-OC=λOA+μOB,两边同时平方,得1=λ2+μ2.故选A.9.D 解法一 设FD=λED.易知ED=AD-AE=AD-12AB,则FC=FD+DC=λED+AB=λ(AD-12AB)+AB=(1-12λ)AB+λAD,又FC=78AB+14AD,所以λ=14,所以FD=14ED,即EF=3FD.解法二 FD=FC+CD=78AB+14AD+CD=14AD-18AB=14AD-14AE=14ED,则EF=3FD.\n解法三 如图D5-1-4,取CD的中点G,连接BG,设H为BG上一点,且BH=DF,易证得AH=FC,则AH=FC=78AB+14AD.过点H作HM∥AB,交AD于点M,交DE于点Q,作HN∥AD,交AB于点N,则AH=AN+AM,所以AM=14AD,根据平行线的性质可知BH=14BG,则DF=14DE,所以EF=3FD.图D5-1-410.D 由OA+2OB=-mOC得,13OA+23OB=-m3OC,如图D5-1-5,设-m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,∴A,B,D三点共线,∴OC与OD反向共线,m>0,∴|OD||OC|=m3,∴|OD||CD|=m3m3+1=mm+3,∴S△AOBS△ABC=|OD||CD|=mm+3=47,解得m=4.故选D.图D5-1-511.D 分别在AB,AC上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,连接QE,QF,BF,如图D5-1-6所示.因为线段AQ为BC边上的高,所以ABsin∠ABC=ACsinC=AQ,所以ABsin∠ABC=AE,ACsinC=AF,所以AE+AF=AQ,由平面向量加法的平行四边形法则可得AE∥QF,AF∥QE,所以四边形AEQF为菱形,所以AQ平分∠BAC,∠BAF=120°,所以AB=AC,Q为BC的中点,E,F分别为AB,AC的中点.所以AB=2AF=2AQ=4,又AH=12AC,所以点H为AC的中点,即点H与点F重合,在△BAF中,BF2=AB2+AF2-2AB·AFcos∠BAF=16+4+8=28.所以BH2=28,BH=27,故选D.\n图D5-1-6【解后反思】 由条件ABsinB+ACsinC=AQ引发的两点联想:一是由“形”联想平面向量加法的平行四边形法则;二是由“数”联想所画图形中的数量关系ABsinB=ACsinC=AQ(线段AQ为BC边上的高).二者结合,才能巧妙得解.解此类题时,要将题目中给出的信息挖掘透彻.12.B 设|AB|=3a,|AC|=b,则△ABC的面积为12×3absinπ3=23,解得ab=83.由AP=mAC+12AB=mAC+34AD,且C,P,D三点共线,可知m+34=1,得m=14,故AP=14AC+34AD.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过A作AB的垂线为y轴,建立如图D5-1-7所示的平面直角坐标系,则A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(12b,32b),则AC=(12b,32b),AD=(2a,0),AP=(18b+32a,38b),|AP|2=(18b+32a)2+(38b)2=164b2+94a2+38ab+364b2=116b2+94a2+1≥2116b2×94a2+1=34ab+1=3,当且仅当116b2=94a2,即b=6a时取等号,故|AP|的最小值为3.图D5-1-713.95 结合图形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb得x+3y=4,2x+y=4,解得x=85,y=45,所以x+y=125.由(ka-b)·c=0得ka·c-b·c=0,即12k-16=0,所以k=43,所以x+yk=95.
