第01节平面向量的概念及线性运算【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.平面向量的实际背景及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。2022·浙江理7;2022•浙江文22;2022•浙江理15;2022•浙江文理15;1.以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；2.考查单位向量较多.3.备考重点：(1)理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；(2)注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.2.向量的线性运算掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。2022·浙江7;2022•浙江文13,理.15;2022•浙江文理15;【知识清单】1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．对点练习：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．-8-\n③(为实数)，则必为零．其中错误的命题的个数为( )A．1B．2C．3D．0【答案】故选.2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.对点练习：【2022高考新课标1】设为所在平面内一点，则（）-8-\nA.B.C.D.【答案】A【解析】由题知=，故选A.3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.对点练习：设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．【答案】（1）证明见解析；（2）k＝1.又∵λ>0，∴k＝1.【考点深度剖析】-8-\n平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1向量的有关概念【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则＝是四边形为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为( )A．1 B．2C．3D．4【答案】【解析】 ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．选.【领悟技法】(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．(3)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【触类旁通】【变式一】给出下列命题：-8-\n①的充要条件是且；②若向量与同向，且，则；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑥任一向量与它的相反向量不相等．其中真命题的序号是________．【答案】⑤考点2平面向量的线性运算【2-1】如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】-8-\n,故选D.【领悟技法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【触类旁通】【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.【答案】=a＋b,a＋b，＝a－b.【解析】＝a－b，＝＝a－b，＝a＋b，＝a＋b，＝＋＝＝a＋b，＝a－b.考点3共线向量【3-1】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝，＝＋λ，则λ等于( )A.B.C．－D．－-8-\n【答案】【解析】∵＝＋，＝＋，∴＝＋＋＋.【领悟技法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【触类旁通】【变式一】已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在( )A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【答案】【解析】由得，∴.则为共线向量，又有一个公共点三点共线，即点在直线上．故选.【易错试题常警惕】易错典例：下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若-8-\na∥b，则a与b同向或反向；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为________．易错分析：概念理解不清致误．答案：④温馨提醒：(1)易忽略与0的区别，把零向量误写成0而致误．(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a|＝|b|误推出a＝±b等．(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2022安徽马鞍山二模】已知P､Q为中不同的两点，且0，0，则为（）A.B.C.D.【答案】A因此，，故选A.-8-
