第五章 平面向量第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算练好题·考点自测1.给出下列命题:①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;⑤若向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0.其中叙述正确的命题的序号是( ) A.①②B.③④C.②④D.⑤⑥2.[新课标全国Ⅰ,5分][理]设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC3.[2019全国卷Ⅱ,3,5分]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.2B.2C.52D.504.[浙江高考,5分][理]记max{x,y}=x,x≥y,y,x<y,min{x,y}=y,x≥y,x,x<y,设a,b为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|25.[2018全国卷Ⅲ,13,5分][理]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= . 6.[新课标全国Ⅱ,5分][理]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . 7.[2020江苏,13,5分]如图5-1-1,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+(32-m)PC(m为常数),则CD的长度是 . 图5-1-1第4页共4页\n拓展变式1.[2021合肥市调研检测]在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则以下结论:①EF=12CA-12BC;②BE=-12AB+12BC;③AD+BE=FC;④GA+GB+GC=0.正确的是( )A.①②B.②③C.②③④D.①③④2.如图5-1-4,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,则2r+3s=( )A.1B.2C.3D.4图5-1-43.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为2π3.如图5-1-6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为 . 图5-1-6答案第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.C 对于①,当a=0时,不正确;对于②,根据平行向量和相等向量的定义可知正确;对于③,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故③不正确;对于④,由相等向量的定义可知,④正确;对于⑤,若向量AB与向量CD是共线向量,由共线向量的定义可知,点A,B,C,D不一定在同一条直线上,故⑤不正确;对于⑥,当a=0时,不论λ为何值,λa=0,故⑥不正确.故选C.第4页共4页\n2.A 由题意得AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13AC-13AB=-13AB+43AC,故选A.3.A 依题意得a-b=(-1,1),|a-b|=(-1)2+12=2,因此选A.4.D 对于min{|a+b|,|a-b|}与min{|a|,|b|}的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错.而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,故选D.5.12 由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=12.6.12 由于λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数μ,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0.因为向量a,b不平行,所以λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=12.7.185或0 解法一 以点A为坐标原点,AB的方向为x轴的正方向,AC的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系.设CD=λCB,λ∈[0,1],则D(4λ,3-3λ),AD=AC+λCB=λAB+(1-λ)AC,又点P在AD的延长线上,则可设AP=μAD,μ>1.又PA=m(PB-PC)+32PC=mCB+32PC,则PA=m(AB-AC)+32(AC-AP),12AP=mAB+(32-m)AC,则2mAB+(3-2m)AC=AP=μAD=λμAB+μ(1-λ)AC,所以2m=λμ,3-2m=μ-λμ,所以μ=3.又AP=9,则AD=3,所以(4λ)2+(3-3λ)2=9,得λ=1825或λ=0,则|CD|=1825|CB|=1825×32+42=185或|CD|=0×|CB|=0.解法二 由题意可设PA=λPD=λ[μPB+(1-μ)PC]=λμPB+(λ-λμ)PC,其中λ>1,0≤μ≤1,又PA=mPB+(32-m)PC,所以λμ=m,λ-λμ=32-m,得λ=32,即|PA||PD|=32,又PA=9,则|PD|=6,|AD|=3,所以AD=AC.当D与C重合时,CD=0,当D不与C重合时,有∠ACD=∠CDA,所以∠CAD=180°-2∠ACD,在△ACD中,由正弦定理可得CDsin∠CAD=ADsin∠ACD,则CD=ADsin(180°-2∠ACD)sin∠ACD=sin2∠ACDsin∠ACD·AD=2cos∠ACD·AD=2×35×3=185.综上,CD=185或0.1.C 如图D5-1-1,因为点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,图D5-1-1所以EF=12CB=-12BC,故①不正确;BE=BC+CE=BC+12CA=BC+12(CB+BA)=BC-12BC-12AB=-12AB+12BC,故②正确;FC=AC-AF=AD+DC+FA=AD+12BC+FA=AD+FE+FA=AD+FB+BE+FA=AD+BE,故③正确;由题意知,点G为△ABC的重心,所以AG+BG+CG=23AD+23BE+23CF=23×12(AB+AC)+23×12(BA+BC)+23×12(CB+CA)=0,即GA+GB+GC=0,故④正确.综上所述,正确的是②③④,故选C.第4页共4页\n2.C 根据图形,由题意可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(BA+AD+DC)=13AB+23(AD+DC)=13AB+23(AD+14AB)=12AB+23AD.因为AE=rAB+sAD,所以r=12,s=23,所以2r+3s=1+2=3.3.2 以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图D5-1-2所示,图D5-1-2则A(1,0),B(-12,32).设∠AOC=α,α∈[0,2π3],则C(cosα,sinα).由OC=xOA+yOB,得cosα=x-12y,sinα=32y,所以x=cosα+33sinα,y=233sinα,所以x+y=cosα+3sinα=2sin(α+π6).又α∈[0,2π3],所以当α=π3时,x+y取得最大值2.第4页共4页
