专题7.1不等关系与不等式【考纲解读】内容要求备注A B C 集合一元二次不等式 √对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划 √ 基本不等式 √ 【直击考点】题组一常识题1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v(km/h)的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d(m)不得小于10m，用不等式组表示为________．【解析】v(km/h)的最大值为120km/h，即v≤120，车间距d(m)不得小于10m，即d≥10，可得不等式组2．已知a，b均为实数，则(a＋3)2________(a＋2)(a＋4)．(填“＞”“＜”或“＝”)【解析】∵(a＋3)2－(a＋2)(a＋4)＝(a2＋6a＋9)－(a2＋6a＋8)＝1＞0，∴(a＋3)2>(a＋2)(a＋4)．3．若1≤a≤4，－2≤b≤－1，则a－b的取值范围为_________________．【解析】∵－2≤b≤－1，∴1≤－b≤2，又1≤a≤4，∴2≤a－b≤6.题组二 常错题4．有以下四个命题：(1)a＞b⇔ac2＞bc2；(2)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞；(3)若ab＞0，则a＞b是＜的充要条件；(4)若＞1，则a＞b.其中真命题的序号是________.10\n5．若a＞b，b≥c，则a与c的大小关系是________.【解析】由a＞b，b≥c，得a＞c.6．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是________.【解析】∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，当a＞0时，b2＞1＞b，即解得b＜－1；当a＜0时，b2＜1＜b，即无解．综上可得b＜－1.题组三 常考题7．已知a＝2，b＝3，c＝25，则a，b，c的大小关系为____________．【解析】b＝3<4＝2＝a，c＝5>4＝2＝a，故b<a<c.8．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.有下列不同的方案：①ax＋by＋cz；②az＋by＋cx；③ay＋bz＋cx；④ay＋bx＋cz.其中总费用(单位：元)最低的是________(填序号)．【解析】(ax＋by＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(a－c)(x－z)>0.故①中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故③中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，④中的不是最低费用．综上所述，②中的为最低费用．9．已知x，y∈R，且x>y>0，有下列结论：①－>0；②sinx－siny>0；③x－y<0；④lnx＋lny>0.其中一定成立的是________(填序号)．【知识清单】考点1应用不等式表示不等关系10\n在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.考点2比较两数（式）的大小比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．考点3不等式的性质不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇒a＋c>b＋c⇒可乘性⇒ac>bcc的符号⇒ac<bc同向可加性⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正可开方性(n∈N，n≥2)a>b>0⇒>考点4不等式性质的应用熟练掌握不等式的五条性质和两个推论，要注意每个性质的适用范围，尤其要注意可乘性和可开方性的外延，比如；不需要限制两边都是正数.10\n⇒ac>bda>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)a>b>0⇒>【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1应用不等式表示不等关系某厂生产甲产品每件需用A原料2kg、B原料4kg，生产乙产品每件需用A原料3kg、B原料2kg；A原料每日供应量限额为60kg，B原料每日供应量限额为80kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，若设每天生产甲产品x件，乙产品y件，用不等式(组)表示上述关系式为________．【答案】【1-2】同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an，则______________(结论用数学式子表示)．【解析】设，如果去掉，则；10\n如果去掉，则[.【1-3】下表为广州亚运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备了1200元，预订15张下表中球类比赛的门票.比赛项目票价(元/场)足球篮球乒乓球1008060若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得解得5≤n≤5，由n∈N*，可得n＝5，∴15－2n＝5.∴可以预订足球比赛门票5张．【思想方法】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用等式子表示，不等关系是通过不等式表现．【温馨提醒】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.考点2比较两数（式）的大小【2-1】,,则与的大小关系为．【答案】【解析】作差法比较大小，，,10\n,所以p-q,.【2-2】若a、b、c、d均为正实数，且，那么四个数、、、由小到大的顺序是_________。【答案】、、、.【2-3】若，则a,b,c的大小关系是．【答案】b>a>c【解析】根据式子特点构造函数，则分别看作函数图象上的点（2，f（2）），（3，f（3）），（5，f（5））与原点连线的斜率，结合图象可知当5＞3＞2时，，∴b>a>c【2-4】已知都是正数，求证：，当且仅当时取等号。【解析】将所要证的不等式的两边相除，得，根据所要证的不等式的特点（交换的位置，不等式不变），不妨设，于是，从而，当仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号。【思想方法】1、利用比较法比较两数（式）的大小时，关键在于作差或商后的变形，需要分解因式或者通分等运算，一定化简彻底；2、构造函数法比较大小时，通常考虑所构造的函数图象特征或者函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小．【温馨提醒】根据需要比较大小的两式的结构特征，选择相应的比较方法，可选用作差比较法、作商比较法，也可以构造函数，结合函数的图象或者研究函数的性质，从而得出两式大小.10\n考点3不等式的性质【3-1】如果，则下列各式正确的是________．A.B.C.D.【答案】D【3-2】已知满足且,则下列选项中一定成立的是________．A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可知,,故A成立；,故B错误；当时，C不成立，故C不一定成立；,故D错误.【3-3】根据条件：满足，且，有如下推理：（1）（2）(3)(4)其中正确的是________．【答案】(3)(4)【解析】由，因为，所以，对于的值可正可负也可为【3-4】设，则“”是“”成立的________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】若p成立，q不一定成立，例如取，反之，若q成立，p也不一定成立，如，所以p是q的既不充分也不必要条件，故选D.10\n【3-5】如果且，那么以下不等式正确的个数是________．①②③④【答案】3【解析】特殊值法．根据且,设,依次判断可知．①②④正确．【思想方法】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．【温馨提醒】使用不等式性质，要注意其适用范围．考点4不等式性质的应用【4-1】已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围是________．【答案】[－1,20]【解析】∵f(1)＝a－c，f(2)＝4a－c，∴a＝[f(2)－f(1)]．c＝－f(1)＋f(2)，∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．∵－1≤f(2)≤5，－≤f(2)≤.又－4≤f(1)≤－1，≤－f(1)≤.∴－1≤f(3)≤20.【4-2】若α、β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．【答案】－π<α－β<0【解析】∵－<α<β<，故－<－β<，则－π<α－β<π且α－β<0，∴－π<α－β<0.【4-3】已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.【基础知识】熟练掌握不等式的五条性质和两个推论，要注意每个性质的适用范围，尤其要注意可乘性和可开方性的外延，比如；不需要限制两边都是正数.10\n⇒ac>bda>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)a>b>0⇒>【思想方法】利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．【温馨提醒】求含字母的数（式）的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等.【易错试题常警惕】不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．【答案】[5,10]10\n当f(－2)＝4a－2b过点A(，)时，取得最小值4×－2×＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．10
