第1讲不等关系与不等式1．(2022·安徽省淮北一模)设a＝30.5，b＝log32，c＝cos2，则( )A．c<b<a B．c<a<bC．a<b<cD．b<c＜a解析：选A.由题意知a＝30.5>30＝1，b＝log32，因为1<2<3，所以0<b<1.又因为<2<π，所以c＝cos2<0，所以c<b<a.2．(2022·石家庄质检)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )A．－<－B．ab<b2C．－ab<－a2D．|a|<|b|解析：选A.利用作差法逐一判断．因为－＝<0，所以－<－，A正确；因为ab－b2＝b(a－b)>0，所以ab>b2，B错误；因为ab－a2＝a(b－a)<0，所以－ab>－a2，C错误；a<b<0⇒|a|>|b|，D错误，故选A.3．(2022·江西省重点中学盟校联考)已知a>0且a≠1，则“ab>1”是“(a－1)b>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由ab>1⇒或由(a－1)b>0⇒或又a>0且a≠1，所以“ab>1”是“(a－1)b>0”的充要条件．4．(2022·西安质检)设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是( )A.B.C．(0，π)D.解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－<π.5．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同D．不确定解析：选A.设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x元、y元，则6x＋3y>24，4x＋4y<20⇒2x＋y>8，x＋y<5，因此2x－3y＝5(2x＋y)－8(x＋y)>5×8－8×5＝0，所以2x>3y，因此2枝玫瑰的价格高，故选A.6．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )A．a2<b2<c2B．a|b|<c|b|C．ba<caD．ca<cb3\n解析：选D.因为a<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变，故选D.7．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，则a·2c>b·2c.其中正确的是________(把正确命题的序号都填上)．解析：①正确．②中由2c>0可知式子成立．答案：①②8．(2022·郑州联考)已知a，b，c∈R，给出下列命题：①若a>b，则ac2>bc2；②若ab≠0，则＋≥2；③若a>|b|，则a2>b2.其中真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故①为假命题；当a与b异号时，<0，<0，＋≤－2，故②为假命题；因为a>|b|≥0，所以a2>b2，故③为真命题．答案：19．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18cm，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为xm，则另一边长为m，即m，根据题意知答案：10．(2022·盐城一模)若－1<a＋b<3，2<a－b<4，则2a＋3b的取值范围为________．解析：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则解得又因为－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，所以－<(a＋b)－(a－b)<.即－<2a＋3b<.答案：11．若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0，又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.所以(a－c)2>(b－d)2>0.3\n所以0<<.又因为e<0，所以>.12．已知12<a<60，15<b<36，求a－b，的取值范围．解：因为15<b<36，所以－36<－b<－15.又12<a<60，所以12－36<a－b<60－15，所以－24<a－b<45，即a－b的取值范围是(－24，45)．因为<<，所以<<，所以<<4，即的取值范围是.3
