第一章集合、常用逻辑用语、不等式\n第4讲不等关系与不等式\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n>＝<\n>＝<\n知识点二 不等式的基本性质b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bc\na＋c<b＋dac>bdan>bn\n\n××√√\nA\n3．(必修1P43T8改编)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是()A．a－c<b－dB．ac<bdC．a＋c>b＋dD．a＋d>b＋c[解析]由同向不等式具有可加性可知C正确．C\nC\n5．(2019·全国)若a>b，则()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a3－b3>0D．|a|>|b|C\n考点突破·互动探究\n例1考点一比较代数式的大小——自主练透\n\n>\n比较两实数大小的方法比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．\n\n例2考点二不等式的性质及应用——多维探究ABD\nCC\n\n\n(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．(2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法．\n角度2利用不等式的性质求范围问题(1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是___________，3x＋2y的取值范围是__________.(2)(2021·河北衡水中学五调)已知1≤a≤3，－4<b<2，则a＋|b|的取值范围是__________.例3(－4，2)(1，18)[1，7)\n[解析](1)∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.(2)∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，又1≤a≤3，∴1≤a＋|b|<7.\n利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．\nCD\nD\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例4D\n\n特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选择项两数大小是确定的，如果出现两数大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；赋值应该满足前提条件：当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．\nC\n[解析]解法一：因为实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，所以x>y.对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立；对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．选C．解法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定．故选项A、D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．\n例5D\n\n中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．\nD\n例6C[解析]因为a，b∈(0，1)，则aπ，bπ∈(0，π)，而函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，又cosaπ<cosbπ，所以aπ>bπ，即a>b，由函数y＝lnx，y＝sinx，y＝x3在(0，1)上均为增函数，知只有C正确．\n(1)利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；(2)通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；(3)导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．\nD\n
