第01节不等式的性质及一元二次不等式班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2022河南中原名校质检】若a＜b＜0，则下列不等关系中，不能成立的是A.＞B.＞C.＜D.＞【答案】B2.【2022届浙江杭州高三二模】设，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由得：，所以，因此，故选择B.3．【2022山西忻州第一中学模拟】已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A.B.C.D.【答案】A【解析】对任意恒成立，令，的对称轴为，在单调递减，当时取到最小值为，实数的取值范围是，故选A.4．设，则以下不等式中不恒成立的是（）A．B．8\nC．D．【答案】B【解析】当时，，故不恒成立，选项为B.5．【2022山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B6．【2022湖南岳阳市模拟】三个数成等比数列，若有成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C7．设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.8．已知，，则A、B、C、D、8\n【答案】C【解析】因为，，，所以，，即，故选C.9.若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )A.a＋＞b＋B.＞C.a－＞b－D.＞【答案】A10．【2022陕西西北工业大学附属中学模拟】如果，，在不等式①；②；③；④中，所有正确命题的序号是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【答案】B【解析】用排除法，，可令，此时，不成立，②错误，排除，，故选B.11．【2022届浙江台州高三4月调研】已知θ∈[0,π)，若对任意的x∈[-1,0]，不等式x2cosθ+(x+1)2sinθ+x2+x>0恒成立，则实数θ的取值范围是（）A.(π12,5π12)B.(π6,π4)C.(π4,3π4)D.(π6,5π6)【答案】A【解析】f(x)=(cosθ+sinθ+1)x2+(2sinθ+1)x+sinθ>0，cosθ+sinθ+1>0恒成立，f(x)在[-1,0]恒成立，只需满足{f(-1)>0f(0)>0f(-2sinθ+12(1+cosθ+sinθ))>0⇒{cosθ>0sinθ>0sin2θ>12⇒θ∈(π6,512π)，故选A.8\n12.若不等式对于任意正整数都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知存在实数a满足，则实数b的取值范围是________．【答案】【解析】∵，∴，当，即解得；当时，，即无解．综上可得．14.【2022广东阳春第一中学模拟】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由图知实数的取值范围是，其中为直线与y=相切时的值，即8\n15．【2022届浙江温州高三二模】已知a,b,c∈R.若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R恒成立，则|asinx+b|的最大值为_______.【答案】216．下列命题中所有真命题的序号是________________.①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件.【答案】②③【解析】对于命题①，取，，则，且，，则“”不是“”的充分条件；对于命题②，由，可得，故有，故“”是“”的必要条件，命题②正确；对于命题③，在不等式两边同时加上得，另一方面，在不等式两边同时减去得，故8\n“”是“”的充要条件，命题③正确，故真命题的序号是②③.三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知，试比较的大小.【解析】作差：∵∴上式>0，即18．已知，求，的取值范围19．已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b．（1）若f(x)<0的解集为(-1,3)，求a,b的值；（2）当a=1时，若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立，求实数b的取值范围；（3）当b=a时，解关于x的不等式f(x)<0（结果用a表示）．8\n【解析】（1）因为fx=x2-a+1x+b<0的解集为-1,3，所以x2-a+1x+b=0的两个根为-1和3，所以-12-a+1-1+b=032-a+1·3+b=0，解得a=1,b=-3．（2）当a=1时，fx=x2-2x+b，因为对任意x∈R,fx≥0恒成立，所以Δ=-22-4b≤0，解得b≥1，所以实数b的取值范围是[1,+∞)．（3）当b=a时，fx<0即x2-a+1x+a<0，所以x-1x-a<0，当a<1时，a<x<1；当a=1时，x∈ϕ；当a>1时，1<x<a．综上，当a<1时，不等式fx<0的解集为{x|a<x<1}；当a=1时，不等式fx<0的解集为ϕ；当a>1时，不等式fx<0的解集为{x|1<x<a}．20．【2022届浙江台州高三4月调研】已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx(a,b∈R).（1）若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0,b≥-1时，求证：对任意的实数x∈[0,2]，|f(x)|≤2b+83恒成立.【答案】(1)3a+b的取值范围(-8,0);(2)见解析.试题解析：（1）8\nf'(x)=x2+ax+b，由已知可得f'(x)=0在(0,2)上存在两个不同的零点，故有{f'(0)>0f'(2)>0Δ>0-a2∈(0,2)，即{b>02a+b+4>0a2-4b>0a∈(-4,0)，令z=3a+b，由图可知-8<z<0，故3a+b的取值范围(-8,0).（2）证明：f(x)=13x3+bx(b≥-1,x∈[0,2])，所以f'(x)=x2+b，当b≥0时，f'(x)≥0在[0,2]上恒成立，则f(x)在[0,2]上单调递增，故0=f(0)≤f(x)≤f(2)=2b+83，所以|f(x)|≤2b+83；当-1≤b<0时，由f'(x)=0，解得x=-b∈(0,2)，则f(x)在[0,-b]上单调递减，在[-b,2]上单调递增，所以f(-b)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}.因为f(0)=0,f(2)=2b+83>0,f(-b)=23b-b<0，要证|f(x)|≤2b+83，只需证-23b-b≤2b+83，即证-b(-b+3)≤4，因为-1≤b<0，所以0<-b≤1,3<-b+3≤4，所以-b(-b+3)≤4成立.综上所述，对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+83恒成立.8
