第01节不等式的性质及一元二次不等式【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测不等式的性质及一元二次不等式1.了解不等关系，掌握不等式的性质.2．了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。会解一元二次不等式.2022浙江文7,10,16；理2；2022浙江文7,16,21；理1,6,15,22；2022浙江文1,3,6；理1；2022浙江文5,6,7；理1，7；2022浙江20.1.不等式性质的综合应用；2.一元二次不等式的解法.备考重点：1.不等式性质；2.一元二次不等式的解法.【知识清单】1.不等关系在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.对点练习【2022高考上海理数】设，则“”是“”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A2.比较法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：14\n若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．对点练习若均为正实数，且，那么四个数、、、由小到大的顺序是_________.【答案】、、、.3.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．对点练习【2022届浙江台州高三4月调研】若a,b∈R，则“1a<1b”是“aba3-b3>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当1a<1b⇔1a-1b=b-aab<0，而aba3-b3=ab(a-b)(a2+ab+b2)>0，反过来也成立，所以是充要条件，故选C.4.一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．（2）计算相应的判别式．（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．14\n（4）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．对点练习【2022高考新课标1理数】设集合,,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【考点深度剖析】不等关系、不等式的性质的考查，往往与其它知识综合考查，如与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题；对一元二次不等式的解法的考查，较多与集合的运算以及二次函数相结合．【重点难点突破】考点1应用不等式表示不等关系【1-1】用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)【解析】假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为，此时进入木板部分的铁钉的总长度为＋，有＋＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为，此时应有＋＋，有＋＋≥1.所以可从中提炼出一个不等式组：14\n【1-2】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．【解析】由题意知综合点评：求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.【触类旁通】【变式】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A）2枝玫瑰的价格高（B）3枝康乃馨的价格高（C）价格相同（D）不确定【答案】A考点2比较两数（式）的大小【2-1】下列各组代数式的关系正确的是________．①x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9；②(x－3)2＜(x－2)(x－4)；③当x＞1时，x3＞x2－x＋1；④x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．【答案】①③④【解析】①2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，即x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9.②(x－2)(x－4)－(x－3)2＝x2－6x＋8－(x2－6x＋9)＝－1＜0，即(x－2)(x－4)＜(x－3)2.③当x＞1时，x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)＞0，即x3＞x2－x＋1.④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋1＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，14\n即x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．【2-2】若，则a,b,c的大小关系是．【答案】【领悟技法】1、（利用比较法比较两数（式）的大小时，关键在于作差或商后的变形，需要分解因式或者通分等运算，一定化简彻底；2、构造函数法比较大小时，通常考虑所构造的函数图象特征或者函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小．【触类旁通】【变式一】若0＜a＜b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________．【答案】 a＜2ab＜＜a2＋b2＜b【解析】∵0＜a＜b且a＋b＝1，∴a＜＜b＜1，∴2b＞1且2a＜1，∴a＜2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2＋＜.即a＜2ab＜，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞，a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－1＞0，b－1＜0，∴a2＋b2－b＜0，∴a2＋b2＜b，综上，a＜2ab＜＜a2＋b2＜b.【变式二】设，求证：.14\n证明：由于不等式是关于对称的，不妨设，于是，所以.考点3不等式的性质【3-1】若a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中正确的是( )A．a－b＞0B．a3＋b3＞0C．a2－b2＜0D．a＋b＜0【答案】D【3-2】根据条件：满足，且，有如下推理：（1）（2）(3)(4)其中正确的是（）A．（1）（2）B．(3)(4)C．（1）(3)D．（2）(4)【答案】B【解析】由，因为，所以，对于的值可正可负也可为0，对于（1）错误，因为，而，所以；对于（2）错误，因为，从而；对于（3）正确，因为，当时，，当时，由；对于（4）正确，因为；综上可知，选B．【领悟技法】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．14\n2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．【触类旁通】【变式一】已知a＞b，则下列不等式中恒成立的是( )A．lna＞lnbB.＜C．a2＞abD．a2＋b2＞2ab【答案】D．【变式二】已知下列三个不等式①ab＞0；②＞；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？【解析】(1)对②变形＞⇔＞0，由ab＞0，bc＞ad得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab＞0，＞0，则bc＞ad，∴①②⇒③.(3)若bc＞ad，＞0，则ab＞0，∴②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．考点4一元二次不等式的解法【4-1】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，求不等式ax2－bx＋c>0的解集．【答案】.【解析】由条件知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，∴－2－＝－，(－2)×＝.∴b＝a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c>0变为a>0.∵a<0，∴原不等式等价于2x2－5x＋2<0，即(x－2)(2x－1)<0，解得<x<2.∴不等式的解集为.14\n【4-2】【2022届浙江嘉兴高三上基础测试】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【领悟技法】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．2.f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．【触类旁通】【变式一】【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初来联考】已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，则，故选C．考点5一元二次不等式恒成立问题【5-1】若不等式的解集是R，则m的范围是( )14\nA.B.C.D.【答案】A【5-2】【2022河南南阳第一中学模拟】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】试题分析：设，由于恒成立，所以，因此，整理得，解得.【5-3】若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则实数a的最小值为( )A．0B．－2C．－D．－3【答案】C【解析】解法一：不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈，∴a≥－.∵f(x)＝在上是减函数，∴＝－.∴a≥－.解法二：令f(x)＝x2＋ax＋1，对称轴为x＝－.①⇒a≥0.(如图1)②⇒－1＜a＜0.(如图2)14\n③⇒－≤a≤－1.(如图3)图1图2图3综上①②③，a≥－.故选C.【领悟技法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．【触类旁通】【变式一】对任意实数x，若不等式4x－m·2x＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，2)B．(－2，2)C．(－∞，2]D．[－2，2]【答案】A【变式二】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：为R上的减函数，故，从而，所以，得.14\n考点6一元二次不等式的应用【6-1】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．【6-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)车速x(km/h)之间有如下关系：，.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【解析】由题意列出不等式组分别求解，得由于，从而可得.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．【领悟技法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【触类旁通】【变式一】 某小商品2022年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2022年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；14\n(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2022年的收益比2022年至少增长20%?【变式二】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．【解析】(1)由题意得y＝100·100.因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.【易错试题常警惕】易错典例1：已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）14\nA．B．C．D．易错分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对、、符号的判断．根据给出的解集，除知道和2是方程的两根外，还应知道，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解析：由于不等式的解集为，可知，且，2是方程的两根，∴，，∴，．∴不等式可化为，由于∴，即，解得．∴所求解集为，选C．易错典例2：已知的取值范围．易错分析：利用不等式性质，两式相加，得由，得，则，所以，，，从而分析：当时，x=3,y=-3,而不满足已知条件，显然结果有问题.这种通过求出x,y的范围，再的取值范围是一种较为典型的错误.事实上，不等价于，利用不等式性质进行同向不等式向加，已知条件14\n仅仅是后来得到的结果的充分条件，即前者成立，后者不一定成立.因此，这是一个不恒等变形，其中的x,y的取值被扩大了.但是，并不等于说不等式的性质在这里就不能用.我们可以不改变原条件的前提下，整体地对原不等式进行向加．正确解析：通过观察将后式两边乘2，得于是.温馨提示：注意不等式性质的单向性．14
