专题7.4基本不等式及其应用【考纲解读】内容要求备注A B C 集合一元二次不等式 √对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划 √ 基本不等式 √ 【直击考点】题组一常识题1．函数y＝x＋(x＞0)的最小值为________．【解析】∵x＞0，∴y＝x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故函数y＝x＋(x＞0)的最小值为4.2．一段长为40m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．【解析】设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴矩形的面积S＝xy≤＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100m2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.【解析】设两直角边长分别为am，bm，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，∴l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2)m.4．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．9\n【解析】设水池的总造价为y元，池底长为xm，则宽为m，由题意可得y＝4×120＋2×80＝480＋320≥480＋320×2＝480＋320×2＝1760，当且仅当x＝，即x＝2时，ymin＝1760.故当池底长为2m时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元．题组二 常错题5．若x＞－1，则x＋的最小值为________．【解析】x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立．6．已知0<x<1，则y＝lgx＋的最大值是________．【解析】∵0<x<1，∴lgx<0，则－lgx>0.∴－y＝－lgx＋≥2＝4，当且仅当－lgx＝，即x＝时，等号成立，∴ymax＝－4.7.函数y＝sinx＋，x∈的最小值为_________________________.【解析】当sinx＝时，sinx＝±2，显然等号取不到，事实上，设t＝sinx，则t∈(0，1]，y＝t＋在(0，1]上为减函数，故当t＝1时，y取最小值5.题组三 常考题8．设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是__________．【解析】将方程组中的第一个方程化为y＝1－ax，代入第二个方程整理得(1－ab)x＝1－b，由方程组无解得1－ab＝0且1－b≠0，所以ab＝1且b≠1.由基本不等式得a＋b>2＝2，故a＋b的取值范围是(2，＋∞)．9．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于________．【解析】依题意有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．10．已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b9\n)取得最大值．【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.考点2利用基本不等式求最值常见结论：1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、考点3基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【考点深度剖析】9\n江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知、、都是正数，求证：【答案】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，，.∴.【1-2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.【1-3】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【解析】∵，，，∴.同理，.∴9\n＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【温馨提醒】1.在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2利用基本不等式求最值【2-1】若log2x＋1og2y＝1，则x＋2y的最小值是________．【答案】4【解析】因为log2x＋log2y＝1，即log2xy＝1，所以xy＝2且x＞0，y＞0，于是x＋2y≥2＝4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号，所以x＋2y的最小值为4.【2-2】设，函数的最小值为 ．【答案】9【2-3】已知，则的最小值是 ．【答案】【解析】由，得，即，亦即,且9\n，从而，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.【2-4】若a>0，b>0，且a＋b＝2，则ab＋的最小值为 ．【答案】2【解析】由2＝a＋b≥2得0<ab≤1，令t＝ab，t∈(0,1]，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，ymin＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是 ．【答案】2【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；9\n②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为,.则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【3-2】如图，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥MPAB，三棱锥MPBC，三棱锥MPCA的体积．若f(M)＝，且＋≥8恒成立，则正实数a的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为 ．【答案】9\n【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？【答案】5年【解析】年平均利润为,当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元．【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．【易错试题常警惕】忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝＋≥2，∴≥2，∴x＋y≥2≥4，得(x＋y)min＝4.(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥2.【答案】(1)3＋2 (2)1＋29\n【解析】(1)∵x>0，y>0，温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．9
