补偿练七 立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析 分别从三视图中去验证、排除．由正视图可知，A不正确；由俯视图可知，C，D不正确，所以选B.答案 B2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．1B.C.D.解析 由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为1×1＝1，四棱锥的体积为×1×1＝.答案 B3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )．A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6\nB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β解析 根据线面垂直的判定和性质可知D正确．答案 D4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是( )．A．①②B．②③C．①④D．②④解析 由线面、面面垂直的性质可知②③正确．答案 B5．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是( )．A．1B．2C．3D．4解析 由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为×2×2＝2，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为＝＝3，所以此棱锥的体积为×2×3＝2.答案 B6．有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为6\n( )．A．21B．6＋15C．30＋6D．42解析 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形，两个侧面和底面垂直．其中侧棱AA1＝2.底面边长AD＝3，平行六面体的高为.BE＝2，又AE＝＝＝1，所以AB＝1＋2＝3，所以平行六面体的表面积为2(3×3＋3×＋3×2)＝30＋6.答案 C7．已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是( )．A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，，则n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β解析 C中，当m∥α时，m只和过m的平面与α的交线平行，所以C不正确．答案 C8．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为( )．6\nA．16＋6＋4πcm2B．16＋6＋3πcm2C．10＋6＋4πcm2D．10＋6＋3πcm2解析 通过三视图得几何体，再求表面积．通过三视图可以得出几何体是由一个三棱柱和半个圆柱组合而成，其中三棱柱的底面是腰长为2cm的等腰直角三角形，侧棱长为3cm，半圆柱的底面半径为1cm，母线长为3cm，表面积为10＋6＋4π(cm2)．答案 C二、填空题9．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析 以PA，PB，PC为从同一顶点引出的三条侧棱补形为一长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，其中长方体的体对角线长即为球的直径，故有2R＝＝5，因此球的表面积S＝4πR2＝4π2＝50π.答案 50π10．如图，正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为________．解析 取AC的中点F，连接EF，BF，则EF∥SC，异面直线BE与SC所成的角即为∠BEF(或其补角)．因为EF＝SC＝，BF＝，AE＝，又在△SAB中，由余弦定理可得cos∠SAB＝，则在△ABE中，可得BE＝.在△BEF中，由余弦定理得cos∠BEF＝6\n，所以∠BEF＝60°.答案 60°11．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为________．解析 圆柱的底面直径与母线长均为2，所以球的直径＝＝2，即球半径为，所以球的表面积为4π×()2＝8π.答案 8π12．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB＝8，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________．解析 球心在矩形的射影为矩形对角线的交点．对角线长为＝2，所以棱锥的高为＝，所以棱锥的体积为××8×2＝16.答案 1613．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为16π＋，则图中x的值为________．解析 由三视图可知，该几何体下面是圆柱，上面是四棱锥．圆柱的体积为4π×4＝16π.四棱锥的底面积为×4×4＝8，所以四棱锥的体积为×8×h＝，所以16π＋＝16π＋，所以四棱锥的高h＝.所以x2＝h2＋22＝5＋4＝9，即x＝3.答案 314．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC16\n所成角的余弦值为________．解析 延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°，cos60°＝.答案 15．如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形CBD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．解析 取BD的中点F，连接EF，AF，易得AF⊥BD，AF⊥平面CBD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝CD＝BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°.答案 45°6
