补偿练四 平面向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，且a∥b，则x的值为( )．A．1B．2C．3D．4解析 a∥b⇒1×6－2×x＝0，解得x＝3.答案 C2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )．A.B.C．5D．25解析 由于|a|＝，而|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，则有b2＝25，解得|b|＝5.答案 C3．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )．A.B.C.D.解析 a·(b－a)＝a·b－a2＝2.所以a·b＝3，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.答案 B4．已知向量＝(4,6)，＝(3,5)，且⊥，∥，则向量＝( )．A.B.C.D.解析 设＝(x，y)，则＝－＝(x，y)－(4,6)＝(x－4，y－6)，又⊥，∥，故解得答案 D5\n5．在平面四边形ABCD中，满足＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析 因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形，又·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案 C6．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为( )．A.B.C.D.解析 因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]，所以a与b的夹角为.答案 A7．若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为( )．A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析 由(－)·(＋－2)＝0，可知·(＋)＝0，设BC的中点为D，则＋＝2，故·＝0，所以⊥.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．答案 B8．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为( )．A.－1B．1C.＋1D.解析 |a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为a·b5\n＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，即|a＋b－c|2＝3－2·cos〈a＋b，c〉，所以当cos〈a＋b，c〉＝1时，|a＋b－c|2最小值为|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，所以|a＋b－c|min＝－1.答案 A二、填空题9．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析 由题意，知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，(k－1)a·b＋(k－1)＝0，∴(k－1)(a·b＋1)＝0，∴k＝1.答案 110．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为______．解析 由于＝(2,2)，＝(－1,3)，则有||＝2，||＝，·＝4，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，那么在上的投影为||cosθ＝.答案 11．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，则＝______.解析 如图，＋＝，依题意，得||＝||，所以四边形ABDC是矩形，∠BAC＝90°.因为AB＝1，AC＝，所以BC＝2.cos∠ABC＝＝，＝＝||cos∠ABC＝.5\n答案 12．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.解析 因为〈，〉＝60°，所以·＝||||·cos60°＝3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.答案 13．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．解析 ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝，5\n即b＝，a＝时取等号．∴＋的最小值是8.答案 814．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．解析 ＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，∴·＝x＋y，·＝y，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识知，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.答案 315．定义平面向量的一种运算：ab＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题：①ab＝ba；②λ(ab)＝(λa)b；③(a＋b)c＝(ac)＋(bc)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab＝|x1y2－x2y1|.其中真命题是________________________(写出所有真命题的序号)．解析 由定义知ba＝|b||a|sin〈a，b〉＝ab，所以①正确．②当λ<0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以b＝|λa||b|sin〈λa，b〉＝－λ|a||b|sin〈a，b〉，而λ(ab)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，所以②不成立．③当a＋b＝0，显然不成立，所以③不成立．④(ab)2＝|a|2·|b|2sin2〈a，b〉＝|a|2·|b|2(1－cos2〈a，b〉)＝|a|2·|b|2－|a|2·|b|2cos2〈a，b〉＝|a|2·|b|2－(a·b)2＝－2＝2，所以ab＝|x1y2－x2y1|，所以④成立．答案 ①④5
