补偿练八 解析几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )．A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，∴该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，化为一般方程为x2＋y2＋2x－4y＝0.答案 C2．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝，则椭圆的方程为( )．A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1解析 依题意得解得所以椭圆的方程为＋y2＝1.答案 D3．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于( )．A.B.C．2D．4解析 双曲线的标准方程为x2－＝1，所以m>0，且a2＝1，b2＝，因为2a＝4b，所以a＝2b，a2＝4b2，即＝4，解得m＝4.6\n答案 D4．若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，则实数a的值是( )．A.B.C．－D．－解析 抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，则＝1，∴a＝.答案 A5．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则·＝( )．A．4B．3C．2D．－2解析 由解得或即A(，1)，B(0,2)，所以·＝2.答案 C6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是( )．A．y＝±3xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析 由题意知2a＝2,2c＝4，所以a＝1，c＝2，所以b＝＝.又双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x.答案 C7．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且垂直于抛物线的对称轴的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为6\n( )．A．1B．2C．4D．8解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，对称轴为x轴，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且垂直于对称轴的直线为x＝，交抛物线于A，B两点，线段AB的长为8，故2p＝8，得p＝4.答案 C8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为( )．A.B.C.D.解析 不妨设F(－c,0)为椭圆的左焦点，F1为椭圆的右焦点．P点在椭圆上，线段PF的中点为M，则|PM|＝|FM|，圆x2＋y2＝b2与线段PF相切于点M，则|MO|＝b(O为坐标原点)．显然有OM为△FPF1的中位线，则|PF1|＝2|OM|＝2b.由勾股定理可得|PF|＝2|FM|＝2.再由椭圆定义可知，|PF|＋|PF1|＝2a，所以2＋2b＝2a，所以c2－b2＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2，结合a2－c2＝b2得2ab＝3b2.所以2a＝3b，所以e＝＝＝.答案 A二、填空题9．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．解析 依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案 (x－2)2＋y2＝1010．过双曲线－＝1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是________．解析 双曲线－＝1的右焦点为(5,0)，过一、三象限的渐近线方程为y＝x6\n，所以所求直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0.答案 4x－3y－20＝011．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.解析 抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，又tan60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案 412．已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为(1,0)，即a＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.答案 x2－＝113．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值是________．解析 取AB的中点M，过M作y轴的垂线，垂足为N，则|AC|＋|BD|＝2|MN|≥2|OF|＝2.答案 214．若双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________．解析 抛物线的焦点坐标为，由题意知＝，得c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2)，即4a2＝3c2，所以2a＝c，6\n所以e＝＝＝.答案 15．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，则直线PF1的斜率为________．解析 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，即a＝2c，则A(0，b)，F2(c,0)，设直线PF1的斜率为k(k>0)，则直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，因为S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，即S△PF1A＝2S△PF1F2，即·|PF1|·＝2×·|PF1|·，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或5kc，又a2＝b2＋c2，即a2＝25k2c2＋c2，所以4c2＝25k2c2＋c2，解得k2＝，所以k＝或k＝－(舍去)．6\n答案 6
