补偿练7 立体几何(建议用时：40分钟)1．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________cm.解析 利用圆锥侧面展开图的关系求解．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为＝(cm)．答案 2．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．解析 利用锥体的体积公式求解．该正三棱锥的底面积为×()2＝，高为＝，所以该正三棱锥的体积为××＝.答案 3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α；④若a∥α，α⊥β，则a⊥β.其中真命题的序号为________．解析 对于①，两直线有可能异面或相交；对于②选项，两平面有可能相交；对于④，直线a有可能在平面β内，故填③.答案 ③4．棱长为的正四面体的外接球半径为________．解析 利用球的体积公式求解．棱长为的正四面体可以放入棱长为1的正方体内，所以其外接球直径为2R＝，则该外接球的半径为.答案 5．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，给出下列命题：①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.其中正确命题的序号为________．解析 过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题；④中还有可能b⊂β.4\n答案 ①③6．关于直线a，b，l及平面α，β，给出下列命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b⊥a，则b⊥α；③若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若a⊥α，a∥β，则α⊥β.其中正确命题的序号为________．解析 在①中，a，b有可能不平行；在②中，b可能在平面α内；在③中，缺少a与b相交的条件，故不正确．由此可知填④.答案 ④7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析 利用圆锥的侧面积和体积公式求解．由圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，得该半圆的半径是2，即为圆锥的母线长．半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r，则2π＝2πr，解得r＝，所以圆锥的高是h＝＝，体积是V＝πr2h＝π.答案 π8．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下面四个条件可作为α⊥β的一个充分条件是________(填序号)．①l⊂α，m⊂β，且l⊥m；②l⊂α，m⊂β，n⊂β且l⊥m，l⊥n；③m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m；④l⊂α，l∥m，且m⊥β.解析 依题意，①②③均不能得出α⊥β.对于④，由l∥m，m⊥β，得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.答案 ④9．已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为________．解析 依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2，1，2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9，4πR2＝9π，所以球O的表面积为9π.答案 9π10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：4\n①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．解析 AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．答案 ③④11.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为________．解析 利用锥体的体积公式求解．因为四棱锥BACC1D的底面ACC1D的面积为×(2＋4)×2＝6，高为×2＝，所以体积为×6×＝2.答案 212．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，给出下列命题：①若m⊥n，α⊥β；②若α⊥β，则m⊥n；③若m∥n，则α∥β；④若α∥β，则m∥n.其中假命题的序号为________．解析 对于④，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此④是正确的，而①②③均可以举出反例说明不成立．答案 ①②③13．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．4\n解析 S菱形ABCD＝4sin60°＝2，S△EBC＝，VP－EBC＝×2×＝.答案 14.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC＝O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为________．解析 连接B1D1，AN，则N在B1D1上．设MN＝x，在正方体ABCDA1B1C1D1中可求得sin∠B1D1O＝，则在Rt△D1MN中，D1N＝＝x.又由正方体的性质知∠AD1N＝，于是在△AD1N中，由余弦定理，得AN＝＝＝，所以当x＝时，AN取得最小值.答案 4
