3.3利用导数研究函数的极值、最值第三章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与函数的单调性、极值、最大(小)值的关系.备考指导函数的极值和最值是高考必考内容,一般以函数的单调性为工具,进一步探究函数的极值或最值.涉及取值范围、最值,恒成立或存在性问题、证明问题,大多可转化为函数的最值或极值问题来解决.主要考查数学运算和逻辑推理的数学素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.函数的极值(1)定义\n温馨提示1.函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值相比较是最大的或是最小的,因而端点不是函数的极值点.2.函数在定义域的某个区间内极大值或极小值不一定唯一,也可能不存在,并且函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.3.函数的极值点处的导数为0,但导数为零的点可能不是函数的极值点.4.若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.\n(2)求可导函数极值的步骤如下:①确定函数f(x)的定义域,并求f'(x);②求方程f'(x)=0的根;③检查方程f'(x)=0的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.\n2.函数的最值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点处取得.(2)一般地,求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.\n问题思考函数有极值是否一定有最值?有最值是否一定有极值?极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要不在端点处取得,则必定在极值处取得.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值一定是函数的最值.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对可导函数f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()××√√\n2.若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点的个数为.1由题意知,只在x=-1处f'(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.\n\n4.函数f(x)=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是.8\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1求函数的极值例1已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.可知f(1)=1,f'(1)=-1,故曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.\n①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(0,+∞)内是增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.\n解题心得利用导数研究函数极值的一般流程:\n对点训练1若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1A由题意可得,f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)·ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0,得a=-1.即f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:即当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.\n能力形成点2求与函数极值有关的参数范围命题角度1由极值的存在性求参数的取值范围C\n(2)若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为.f'(x)=3x2-4cx+1.由题意知f'(x)=0有两个不同的实数根,可得Δ=(-4c)2-12>0,\n命题角度2由极值的个数求参数的取值范围例3已知函数,若x=2是函数f(x)唯一的极值点,则实数k的取值范围为()A.(-∞,e]B.[0,e]C.(-∞,e)D.[0,e)A\n解题心得1.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在区间(a,b)内不是单调函数,可转化为f'(x)=0根的个数问题求解;若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间内没有极值.2.已知函数极值点的个数求参数,解决此类问题可转化为函数y=f'(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.\n对点训练2已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)B∵f'(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f'(x)=0有两个不相等的实根,即Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0.得a>6或a<-3.\n对点训练3已知函数存在两个极值点x1,x2,求m的取值范围.\n能力形成点3求函数的最值2\n\n\n解题心得求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的思路:(1)若所给的闭区间[a,b]不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f'(x)=0在区间[a,b]上的根,计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.提醒:求函数在无穷区间(开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,借助图象观察得到函数的最值.\n对点训练4(1)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为()A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]D由题意知f'(x)=3x2+6x-9.令f'(x)=0,解得x=1或x=-3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,且f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.故选D.\n(2)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.①讨论f(x)的单调性;②是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1,且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.\n\n②满足题设条件的a,b存在.(ⅰ)当a≤0时,由①知,f(x)在区间[0,1]上单调递增,即f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ⅱ)当a≥3时,由①知,f(x)在区间[0,1]上单调递减,即f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.\n\n第三环节 学科素养提升\n\n\n解题心得解决函数的极值、最值综合问题的策略(1)求函数的极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小或取值范围.(2)求函数的最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.(3)若函数在给定闭区间上存在极值,则一般要将极值与端点值进行比较才能确定函数的最值.\n变式训练已知函数的导函数f'(x)的两个零点为x1=-3和x2=0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex>0,所以f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.又因为a>0,所以当-3<x<0时,g(x)>0,即f'(x)>0,当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).\n
