三、利用导数研究函数的单调性、极（最）值一、选择题1．【2022届青海省平安县第一高级中学高三（B班）上周练2】曲线的单调增区间是()A.;B.;C.及;D.及;【答案】B故选B.2．【2022北京西城35中高三上期中】函数存在极值点，则实数的取值范围是（）．A.B.C.或D.或【答案】C【解析】∵，恒有解，∴，，，∴或，当时，（舍去），∴或，故选．3．【2022届河北省定州中学高三上第二次月考】已知函数fx=2x-1ex+ax2-3ax>0为增函数，则a的取值范围是（）A.-2e,+∞B.-32e,+∞B.-∞,-2eD.-∞,-32e【答案】A【解析】∵函数f(x)=(2x−1)ex+ax2−3a(x>0)为增函数，∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为2a⩾-2+1xex，-14-\n令gx=-2+1xex,则g'x=-2x-1x+1exx2，可得：x=12时,函数g(x)取得极大值即最大值,g12=-4e.∴a≥-2e.∴a的取值范围是-2e,+∞.本题选择A选项.4．【2022届湖北省枣阳市高级中学高三十月月考】函数的极值点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】A5．【2022届山东省邹平双语学校二区高三上第一次月考】函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D.-14-\n6．【2022届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知函数f(x)=sinx-x,x∈R，则f(-π4)、f(1)、f(π3)的大小关系（）A.f(-π4)>f(1)>f(π3)B.f(π3)>f(1)>f(-π4)C.f(1)>f(π3)>f(-π4)D.f(π3)>f(-π4)>f(1)【答案】A7．【2022届云南省名校月考（一）】已知函数有两个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的定义域为，因为，当时，，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.8．【2022届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知fx是定义在R上的可导函数，且满足x+3fx+xf'x>0，则（）A.fx>0B.fx<0C.fx为减函数D.fx为增函数【答案】A【解析】构造函数g(x)=x3exf(x)，g′(x)=x2ex[(x+3)f(x)+xf′(x)]，∵(x+1)f(x)+xf'(x)>0，∴g′(x)=x2ex[(x+1)f(x)+x′(x)]>0，-14-\n故函数g(x)在R上单调递增，而g(0)=0∴x>0时，g(x)=x3exf(x)>0⇒f(x)>0；x<0时，g(x)=x3exf(x)<0⇒f(x)>0；在(x+3)f(x)+xf'(x)>0中取x=0，得f(0)>0．综上，f(x)>0．本题选择A选项.9．【2022届湖北省黄冈市高三9月检测】已知函数，在区间内任取两个数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C10．【2022届陕西省西安中学高三10月月考】已知函数f(x)=13x3-a2x，若对于任意的x1,x2∈0,1，都有f(x1)-f(x2)≤1成立，则实数a的取值范围是（）A.[-233,233]B.(-233,233)C.[-233,0)∪(0,233]D.(-233,0)∪(0,233)【答案】A【解析】利用排除法，当a=0时，fx=13x3,f'x=x2≥0，函数在定义域上单调递增，-14-\nfx1-fx2≤f1-f0=13≤1，满足题意，排除CD选项，当a=233时，fx=13x3-43x,f'x=x2-43<0，函数在定义域上单调递减，fx1-fx2≤f0-f1=1≤1，满足题意，排除B选项，本题选择A选项.11．【2022届陕西省西安中学高三10月月考】若函数在单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D当0<t⩽1时,，由在(0,1]递增，可得t=1时，取得最大值−1，可得3a⩾−1,即a⩾−；当−1⩽t<0时,3a⩽，由在[−1,0)递增，可得t=−1时，取得最小值1，可得3a⩽1,即a⩽.-14-\n综上可得a的范围是.故选：D.12．【2022届河北省定州中学高三上第二次月考】已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈1e,1，总存在唯一的y∈-1,1，使得lnx-x+1+a=y2ey成立，则实数a的取值范围是A.2e,+∞B.2e,e+1eC.1e,eD.2e,e【答案】D∵对任意的x∈[1e,1]，总存在唯一的y∈[-1,1]，使得lnx-x+1+a=y2ey成立，则[a-1e,a]是g(y)的不含极值点的单调区间的子集，g'(y)=y(2+y)ey，g(y)在[-1,0]上递减，在[0,1]上递增，最小值g(0)=0，g(-1)=1e,g(1)=e，最大值为e，①要使得对任意的x∈1e,1，总存在唯一的y∈-1,1，使得lnx-x+1+a=y2ey成立，则f(x)的最大值不大于g(y)的最大值f(1)<e，解得a≤e；②∵g(y)在[-1,0]上递减，在[0,1]上递增，∴g(y)的值域为(0,1e]时，有两个y值与之对应，若只有唯一的y，则f(x)的最小值要比1e大，即：a-1e>1e⇒a>2e，综上：a的取值范围是(2e,e]，选D.二、填空题13．【2022届南宁市高三摸底联考】已知函数fx=ex-e-xx，flog3x+flog13x≤2f1，则x的取值范围是__________.【答案】13≤x≤3【解析】由题意可得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，又flog13x=f-log3x=flog3x,所以原不等式可化为2flog3x≤2f1，即flog3x≤f1,-14-\n又x>0时，f'(x)=ex-1ex+x(ex+1ex)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，上式转化为|log3x|≤1,解得13≤x≤3，填13≤x≤3.14．【2022届江苏省南通中学高三10月月考】定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0，f/(x)为f(x)的导函数，且2f(x)<x⋅f/(x)<3f(x)对x∈(0,+∞)恒成立，则f(2)f(4)的取值范围是__________________.【答案】(18,14)设G(x)=x3f(x)，则G/(x)=3x2⋅f(x)-x3⋅f/(x)f2(x)=x2[3f(x)-x⋅f/(x)]f2(x)>0，G(x)在(0,+∞)上为增函数，所以G(2)<G(4)即23f(2)<43f(4)，即f(2)f(4)>18，因此，f(2)f(4)的取值范围是(18,14)．15．【2022届江苏省启东中学高三10月月考】已知函数在上是增函数，函数，当时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为______.【答案】【解析】，因为在上是增函数，即在上恒成立，，则，当时，，又，令，则，（1）当时，，，-14-\n则，则，（2）当时，，，则，舍..16．如图是函数y=fx的导函数y=f'x的图象，给出下列命题：①-2是函数y=fx的极值点②1是函数y=fx的极小值点③y=fx在x=0处切线的斜率大于零④y=fx在区间-∞,-2上单调递减则正确命题的序号是__________.【答案】①③④②当x>−2时,f′(x)>0，函数单调递增，∴1是函数y=f(x)的极小值点，错误。③当x>−2时,f′(x)>0，函数单调递增，∴y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，∴③正确。④当x<−2时,f′(x)<0，函数单调递减，∴y=f(x)在区间(−∞,−2)上单调递减，∴④正确。则正确命题的序号是①③④，故答案为：①③④三、解答题-14-\n17．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知函数fx=12x2-lnx,a∈R.（I）若y=fx在x=2处的切线方程为y=x+b，求a,b的值；（II）若fx在1,+∞上为增函数，求a得取值范围.【答案】(1)a=2b=-2ln2(2)a≤1试题解析：（I）因为f'x=x-axx>0，又fx在x=2处的切线方程为y=x+b，所以2-aln2=2+b2-a2=1所以a=2b=-2ln2（II）因为fx在1,+∞上为增函数，所以f'x=x-ax≥0在1,+∞上恒成立.即a≤x2在1,+∞上恒成立，所以有a≤1.点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．18．【2022届浙江省温州市高三9月测试】已知函数f(x)=x-3x-4lnx．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）当0<x≤3时，求证：x2+2x-3≤4xlnx．【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出f'x，f'x>0解不等式即可得f(x)的单调增区间；（2）x2+2x-3≤4xlnx等价于f(x)=x-3x-4lnx≤-2，利用导数研究函数的单调性，证明f(x)max=f(1)=-2，从而可得结果.试题解析：（1）∵f'(x)=1+3x2-4x=x2-4x+3x2=(x-1)(x-3)x2，令f'(x)>0，解得x>3或x<1，又由于函数f(x)的定义域为x|x>0，-14-\n∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)．（2）由（1）知f(x)=x-3x-4lnx在(0,1)上单调递增，在1,3上单调递减，所以，当0<x≤3时，f(x)max=f(1)=-2，因此，当0<x≤3时，恒有f(x)=x-3x-4lnx≤-2，即x2+2x-3≤4xlnx．19．【2022届河北省定州中学高三上第二次月考来】已知函数fx=x3+32a-1x2-3ax+1，a∈R．（I）讨论函数fx的单调区间；（II）当a=3时，若函数fx在区间m,2上的最大值为3，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）当a<-1时，f(x)在-∞,1和-a,+∞内单调递增，f(x)在1,-a内单调递减；当a=-1时，f(x)在-∞,+∞单调递增；当a>-1时，f(x)在-∞,-a和1,+∞内单调递增，f(x)在-a,1内单调递减；（Ⅱ）即m的取值范围是（-∞，-3]．7【解析】试题分析：(Ⅱ)当a=3时，函数的解析式fx=x3+3x2-9x+1,x∈m,2，则f'x=3x+3x-1，讨论函数的单调性可得fx极大=f-3=28，fx极小=f1=-4，且f2=3<28，则m的取值范围是-∞,-3.试题解析：（I）f'(x)=3x2+3a-1x-3a=3x-1x+a．令f'x=0得x1=1,x2=-a．（i）当-a=1，即a=-1时，f'(x)=3x-12≥0，f(x)在-∞,+∞单调递增．（ii）当-a<1，即a>-1时，当xx2或xx1时f'(x)>0，f(x)在-∞,x2和x1,+∞内单调递增；当x2<x<x1时f'(x)<0，f(x)在x2,x1内单调递减．（iii）当-a>1，即a<-1时，-14-\n当a=-1时，f(x)在-∞,+∞单调递增；当a>-1时，f(x)在-∞,x2和x1,+∞内单调递增，f(x)在x2,x1内单调递减．（其中x1=1,x2=-a）（II）当a=3时，fx=x3+3x2-9x+1,x∈m,2，f'x=3x2+6x-9=3x+3x-1令f'x=0，得x1=1,x2=-3．将x，f'x，fx变化情况列表如下：x1f'x+0-0+fx↗极大↘极小↗由此表可得fx极大=f-3=28，fx极小=f1=-4．又f2=3<28，故区间m,2内必须含有，即m的取值范围是（-∞，-3]．20．【2022届江苏省常熟中学高三10月抽测（一）】已知函数.（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：-14-\n(2)由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的取值范围是.试题解析：（1），∵函数是单调递减函数，∴对恒成立，∴对恒成立，即对恒成立，∵（当且仅当，即取“”），∴；（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，∴在上有两个相异实根，即在上有两个相异实根，记，则，得，即.21．【2022届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设函数fx=-alnxx+x-a+2a∈R.（1）当曲线y=fx在点1，f,1处的切线与直线y=x垂直时，求a的值；（2）若函数Fx=fx+a24x有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)a=2;(2)2e,+∞.-14-\n试题解析：由题意知，函数fx的定义域为0，+∞，f'x=alnx-1x2+1，∴f'1=1-a=-1，解得a=2.（2）若函数Fx=fx+a24x有两个零点，则方程-alnxx+x-a+2+a24x=0恰有两个不相等的正实根，即方程-alnx+x2-a-2x+a24x=0恰有两个不相等的正实根.设函数gx=-alnx+x2-a-2x+a24x，∴g'x=2x-a-2x-ax=2x2-a-2x-ax=2x-ax+1x.当a≤0时，g'x>0恒成立，则函数gx在0,+∞上是增函数，∴函数gx最多一个零点，不合题意，舍去；当a>0时，令g'x>0，解得x>a2，令g'x<0，解得0<x<a2，则函数gx在0,a2内单调递减，在a2,+∞上单调递增.易知x→0时，gx>0恒成立，要使函数gx有2个正零点，则gx的最小值ga2<0，即-alna2+a24-a-2×a2+a24<0，即-alna2+a<0，∵a>0，∴lna2>1，解得a>2e，即实数a的取值范围为2e,+∞.22．【2022届河南省洛阳市高三上期中】已知函数f(x)=(x2+mx+n)ex，其导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.【答案】（1）y=4ex-3e（2）f(x)的单调增区间是(-∞,-3)，(0,+∞)，单调递减区间是（-3,0）.（3）函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5e2，最小值为-1.【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足f'(x)=0，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求f(1),求出切点，再求f'(1)得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式f'(x)>0和f'(x)<0-14-\n，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（2）由于ex>0，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-∞,-3)-3(-3,0)0(0,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增故f(x)的单调增区间是(-∞,-3)，(0,+∞)，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于f(2)=5e2，f(0)=-1，f(-2)=e-2，所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5e2，最小值为-1.-14-
