第07节解三角形及其应用举例A基础巩固训练1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是( )A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，可知.2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°【答案】B3.要测量顶部不能到达的电视塔的高度,在点测得塔顶的仰角是,在点测得塔顶的仰角是,并测得水平面上的，则电视塔的高度为（）A.B.C.D.【答案】D-7-\n【解析】，解之得或（舍），即电视塔的高度为米，故选D.4．两灯塔错误！未找到引用源。与海洋观察站错误！未找到引用源。的距离都为错误！未找到引用源。，灯塔错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。的北偏东错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。的南偏东错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。两灯塔之间距离为()A.错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示：易得∠ACB=90°，AC=BC=a.在△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2，所以AB=错误！未找到引用源。（km）.故选C.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m-7-\n到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50mB．100mC．120mD．150m【答案】A【解析】设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.B能力提升训练1．如下图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A．c和αB．c和bC．c和βD．b和α【答案】D2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.分钟B.分钟C．21.5分钟D．2.15小时【答案】A【解析】如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2-7-\n－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )A．35海里B．35海里C．35海里D．70海里【答案】D4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°【答案】C【解析】如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.5．【2022山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为（）-7-\nA.米B.米C.米D.米【答案】D时取等号），此时取最小值，应选答案D.C思维扩展训练1.如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于()（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因为，所以-7-\n.2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50mB．100mC．120mD．150m【答案】A【解析】 设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.3.【2022安徽马鞍山二模】在边长为2的正三角形的边上分别取两点，点关于线段的对称点正好落在边上，则长度的最小值为____．【答案】4.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值.-7-\n【答案】，令得，，代入得，，故的最大值为．-7-
