第07节解三角形及其应用举例班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1．海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是()A.B.C.D.【答案】C则AB==10km．故选：C．2．一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B,海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.海里C.10海里D.海里【答案】B【解析】-12-\n本题选择D选项.3．如图，有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要加长（ ）A.0.5B.1C.1.5D.32【答案】B【解析】设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，如图∵∠ABD=，∠C=，∴∠BAC=.∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km.-12-\n故选B.4．如图，在海岸线上相距千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且，则BC之间的距离是A.千米B.30千米C.千米D.12千米【答案】D5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )A．akm B．akm C.akm D．2akm-12-\n【答案】B【解析】由图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得cos∠ACB＝＝＝－.解得AB＝a(km)．6．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°【答案】 B7．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为-12-\n( )A．50m B．50mC．25mD.m【答案】 A【解析】由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)．8．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )A．10kmB.kmC．10kmD．10km【答案】 D9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )A．5nmileB．5nmileC．10nmileD．10nmile【答案】 C【解析】依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(nmile/h)．10．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )-12-\nA．20mB．20mC．20(1＋)mD．30m【答案】 A【解析】如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB＝20(m)，所以BM＝20(m)．又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝(m)，∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20(m)．11．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为( )A.kmB．(－1)kmC．(＋1)kmD.km【答案】 B12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )A.nmile/hB．34nmile/hC.nmile/hD．34nmile/h-12-\n【答案】 A【解析】如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝(nmile/h)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为__________海里/小时.【答案】【解析】-12-\n14.甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东30°角方向直线航行，并1小时后与乙船在C处相遇，则甲船的航速为_________海里/小时。【答案】17.3【解析】设甲船的航速为海里/小时，则，由正弦定理可得海里/小时，故答案为.15．【2022湖南百所重点中学诊断】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.-12-\n【答案】2116.如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m.【答案】60故答案为60.-12-\n三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，我军军舰位于岛屿的南偏西方向的B处，且与岛屿相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方逃跑，若我军军舰从处出发沿北偏东的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．（Ⅰ）求我军军舰追上海盗船的时间；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）我军军舰追上海盗船的时间为1小时；（Ⅱ）.（Ⅱ）在中，因为，，，，由正弦定理，得，-12-\n即，．18.【2022届江苏南京溧水高级中学期初模拟】如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了两个报名点，满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作：先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点)，然后乘同一艘轮游轮前往岛．据统计，每批游客处需发车2辆，处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元．(1)写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2)问：中转点距离处多远时，最小？【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，求出相关的角，利用正弦定理，求出，表示出所需运输成本为元关于的函数表达式；（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值.试题解析：(1)由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.由正弦定理知，-12-\n即CD＝，AD＝，所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝(12CD－4AD＋80)a＝a＋80a＝a＋60a所以中转点C距A处km时，运输成本S最小．-12-
