第40课解三角形的应用举例1．(2022茂名一模)某人向东方向走了千米，然后向右转，再朝新方向走了千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值是．【答案】【解析】由余弦定理：，整理得：，解得．2．如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离都是千米，灯塔在的北偏东方向，灯塔在的南偏东方向，则灯塔与灯塔的距离为______千米．【答案】【解析】，，∴．3．如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往处救援，求的值。【解析】在中，，由余弦定理知，∴由正弦定理，．∵，则为锐角，．∴4\n．4．（2022银川一中）如图，一人在地看到建筑物在正北方向，另一建筑物在北偏西方向，此人向北偏西方向前进到达，看到在他的北偏东方向，在其的北偏东方向，试求这两座建筑物之间的距离．【解析】依题意得，，，，，．在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，∴．答：这两座建筑物之间的距离为．5．如图，、、、都在同一个与水平面垂直的平面内，、为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为，．试探究图中,间距离与另外哪两点间距离相等，然后求,的距离（计算结果精确到，，）．【解析】在中，，∴，又，故是底边的中垂线，∴，在中，即4\n因此，，故的距离约为．6．（2022黄浦质检）如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行．（1）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？（2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？【解析】（1）如图，作，垂足为，北MABCαD由已知，，∴，，∴，，∴，∴该船有触礁的危险．设该船自向东航行至点有触礁危险，则，在△中，，，，在△中，，∴（）．∴该船自向东航行会有触礁危险．（2）设，在△中，，即，，而，∴当，，4\n∴时，该船没有触礁危险．4
